История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

4. Докажите признаки делимости на 5 и на 3.
5. Сформулируйте признак делимости на 25 и докажите его.
6. Не выполняя сложения, установите, делится ли значение выражения на 4:
а) 284 + 1440 + 113; в) 284 + 1441+ 113;
б) 284+ 1440 + 792224; г) 284+ 1441 + 113+ 164.
7.Не выполняя вычитания, установите, делится ли разность на 9.
а) 360- 144; 6) 946-540; в) 30240-97.
Лекция № 15


Тема: Простые и составные числа. Основная теорема арифметики: Решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел.
Определение. Натуральное число >1 называется простым если оно имеет ровно два делителя единицу и само это число.
Например, 2,5,11 и т.д.
Определение. Натуральное число >1 называется составным если оно имеет более двух делителей.
Например 12,14.
Число единиц имеет один делитель его не относят не к простым не к составным числам.
Число 0 имеет бесконечно много делителей. Его не относят ни к простым ни к составным числам.
                        2,3,4,5,6,7,8,9,10
11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
21,22,23,24,25,26,27,28,29,30
 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40
остались простые числа которые делятся на себя и единицу.
Греческий математик и астроном Эратосфен живший в Александрии в 3 веке до н.э. придумал составление таблицы в которой указаны простые числа. Его метод заключается в следующем сначала выписываются все натуральные числа от 2 до n после этого вычеркивают все числа кратные 2, кроме самого числа 2, затем первым оставшимся числом после 2 является 3 вчеркиваются все числа кратные 3, кроме самого числа 3 и т.д.
Простое число — это число, у которого только два делителя: 1 и само число.
Например: 13 (1 * 13 = 13); 457 (1 * 457 = 457)
Натуральное число > 1назыв. составным, если оно имеет более двух делителей (12,14,16).
Число 0 и 1 не относят ни к простым, ни к составным числам.
Решето Эратосфена
этим именем называют следующий способ получения ряда простых чисел.
Из ряда чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14...
вычеркивают кратные двум;
4, 6, 8, 10, 12,...
— кратные трем:
6, 9, 12, 15,...
— кратные пяти:
10, 15, 20, 25, 30,...
— кратные семи:
14, 21, 28, 35, 42, 49,...
и т. д.
Таким образом все составные числа будут просеяны, и останутся только простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13...
Теорема (Евклида): Множество простых чисел бесконечно.
Доказательство:
Предположим, что множество простых чисел конечно. Т.е. множество состоит из р1,p2p2,…,pk. Составим произведение этих простых чисел: p1*p2*…*pk.
Запишем число n=p1*p2*…pk+1
Если n-число составное, то оно имеет один простой делитель, т.е. nрi, i=1…k.
Пусть np1, тогда и произведение делится на р1 => 1p1
Получается, что n>pk и не делится ни на одно простое число => n явл.простым числом, причем большим любого простого числа в данном множестве => наше предположение о конечности множества не верно.