История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Понятие делимости

Понятие делимости – это одно из основных понятий арифметики и теории чисел. Мы будем говорить о делимости целых чисел и в частных случаях - о делимостинатуральных чисел. Итак, дадим представление о делимости на множестве целых чисел.
Целое число a делится на целое число b, которое отлично от нуля, если существует такое целое число (обозначим его q), что справедливо равенство a=b·q. В этом случае также говорят, что b делит a. При этом целое число b называетсяделителем числа a, целое число a называется кратным числа b (для получения более детальной информации о делителях и кратных обращайтесь к статье делители и кратные), а целое число q называют частным.
Если целое число a делится на целое число b в указанном выше смысле, то можно сказать, что a делится на b нацело. Слово «нацело» в этом случае дополнительно подчеркивает, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом.
В некоторых случаях для данных целых чисел a и b не существует такого целого числа q, при котором справедливо равенство a=b·q. В таких случаях говорят, что целое число a не делится на целое число b (при этом имеется в виду, что a не делится на b нацело). Однако в этих случаях прибегают к делению целых чисел с остатком.
Разберемся с понятием делимости на примерах.
Целое отрицательное число −81 делится на целое отрицательное число −27, так как−81=(−27)·3 (равенство (−27)·3=−81 имеет место в силу правила умножения целых чисел с разными знаками). Здесь же можно сказать, что число −27 делит −81. В этом примере целое число −81 – это кратное числа −27, а число −27 – делитель числа −81.
Рассмотрим еще один пример. Целое число −16 не делится на целое число 5, так как не существует такого целого числа q, при котором справедливо равенство−16=5·q. Таким образом, число −16 не является кратным числа 5, а число 5 не является делителем числа −16.
Теперь введем обозначения, принятые для удобства описания делимости.
Тот факт, что целое число a является кратным целого числа b (a кратно b, или aделится на b), записывают с помощью символа, представляющего собой три расположенные по вертикали точки «», в виде ab. Например, запись 972означает, что целое положительное число 972 делится на 9.
С другой стороны, то обстоятельство, что целое число b делит целое число a, записывают с использованием символа «|», имеющего вид вертикальной черты, следующим образом: b|a. К примеру, запись 3|27 означает, что число 3 делит 27. Также можно встретить записи вида b\a (посмотрите на обыкновенную дробь a/bсправа налево), которые являются лишь разновидностью записи b|a и означают то же самое (что b делит a).
Если символы делится  и делит | зачеркнуть, то получим символы вида  и , которые означают не делится (не является кратным, не кратно) и не делит соответственно. Приведем примеры. Запись 45 утверждает, что 45 не делится на7 (45 не является кратным числа 7, 45 не кратно 7). Целое число −3 не делит целое число 11, кратко можно записать (−3).
Итак, записи ab и b|a по сути являются различными формами записи одного и того же факта - делимости целого числа a на целое число b, а записи вида ab и baопровергают делимость a на b.