История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Разделим, например, число 10011₃ на 12₃:
_10011|12
12 122
_ 111
101
_ 101
101
Значит, 10011₃ : 12₃ = 122₃.
Перевод целых чисел осуществляется по правилу последовательного деления. Исходное число, записанное в системе с основанием p, и его частные последовательно делятся на число q, записанное в системе с основанием p. Деление производится до тех пор, пока частное не станет меньше q. Старшей цифрой записи числа по основанию q служит последнее частное, а остальные цифры дают остатки от деления, выписанные в порядке, обратном их получению.
Пример 1:
134₁₀→2-ую систему счисления. Производим деление на 2 и выписываем остатки:

Частичные частные
Остаток

Таким образом, 134₁₀=10000110₂
Пример 2:427₁₀→16-ую систему счисления. Производим деление на 16 и выписываем остатки:

Частичные частные
Остаток

Таким образом, 427₁₀=1AB₁₆
Пример 3:31₈→10-ую систему счисления. Запишем 10 в восьмеричной системе:10₁₀=12₈. Будем производить деление 31 на 12 в восьмеричной системе и выписывать остатки:

Частичные частные
Остаток

Таким образом, 31₈=25₁₀
Перевод дробных чисел осуществляется по правилу последовательного умножения.Исходное число, записанное в системе счисления p, и дробные части получающихся произведений последовательно умножается на число q, записанное в системе с основанием p. Целые части получающихся произведений дают последовательность представления дробного числа. Умножение производится до достижения необходимой точности.
Пример 4:
0.134₁₀→2-ую систему счисления
0.134*2=0.268
0.268*2=0.536
0.536*2=1.072
0.072*2=0.144
0.144*2=0.288
0.288*2=0.576
0.576*2=1.152
Таким образом, 0.134₁₀=0.0010001…₂
Пример 5:
0.011₂→10-ую систему счисления
Переведем 10 в двоичную систему счисления
10₁₀=1010₂
0.011*1010=11.110 целая часть соответствует 3₁₀
0.11*1010=111.10 целая часть соответствует 7₁₀
0.1*1010=101.0 целая часть соответствует 5₁₀
Таким образом, 0.011₂=0.375₁₀
Перевод чисел из одной системы счисления в другую, когда одно основание является целой степенью другого.Как мы уже знаем, в компьютерах наибольшее распространение получили системы основаниями, кратными степени 2: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Правила перевода чисел между такими системами значительно упрощаются:
Для того чтобы перевести восьмеричное число в двоичное, необходимо каждой восьмеричной цифре сопоставить ее двоичный эквивалент. Для того чтобы перевести двоичное число в восьмеричное, необходимо каждой тройке цифр в двоичном числе сопоставить восьмеричный эквивалент.

Аналогичные правила действуют при переводе шестнадцатеричных чисел в двоичные и обратно. Разница заключается лишь в том, что в этом случае рассматриваются не тройки, а четверки двоичных чисел.

Например:
62.753₈=110 010.111 101 011₂
1D8.7A₁₆=0001 1101 1000.0111 1010₂
1011100₂=0101 1100₂=5C₁₆
Аналогичные правила работаю и в общем случае.
Пусть даны системы счисления с основаниями p и q, p=q^s, где s – целое число. Для перевода числа из системы с основаниемp в число в систему с основанием q требуется каждую цифру исходного числа заменить на ее эквивалент в системе с основанием q. Для перевода числа из системы с основанием q в число в систему с основанием p требуется каждые s цифр исходного числа заменить на их эквивалент в системе с основанием p.