История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Свойства делимости

Делимость обладает рядом характерных свойств. Перечислим и обоснуем основныесвойства делимости, которые следуют из понятия делимости и свойств операций над целыми числами.

1. 
   Любое целое число a делится на число a, на число −a, противоположное числу a, на единицу и на число −1.
   

Докажем это свойство делимости.
Для любого целого числа a справедливы равенства a=a·1 и a=1·a, из которых следует, что a делится на a, причем частное равно единице, и что aделится на 1, причем частное равно a. Для любого целого числа a также справедливы равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a), из которых следует делимость a на число, противоположное числу a, а также делимость a на минус единицу.
Отметим, что свойство делимости целого числа a на себя называют свойством рефлексивности.

2. 
   Следующее свойство делимости утверждает, что нуль делится на любое целое число b.
   

Действительно, так как 0=b·0 для любого целого числа b, то нуль делится на любое целое число.
В частности, нуль делится и на нуль. Это подтверждает равенство 0=0·q, гдеq – любое целое число. Из этого равенства вытекает, что частным от деления нуля на нуль является любое целое число.
Также нужно отметить, что на 0 не делится никакое другое целое число a, отличное нуля. Поясним это. Если бы нуль делил целое число a, отличное от нуля, то должно было бы быть справедливо равенство a=0·q, где q – некоторое целое число, а последнее равенство возможно только при a=0.

3. 
   Если целое число a делится на целое число b и модуль числа a меньше модуля числа b, то a равно нулю. В буквенном виде это свойство делимости записывается так: если ab и , то a=0.
   

Доказательство.
Так как a делится на b, то существует целое число q, при котором верно равенство a=b·q. Тогда должно быть справедливо и равенство , а в силу свойств модуля числа должно быть справедливо и равенство вида . Если q не равно нулю, то , откуда следует, что . Учитывая полученное неравенство, из равенства  следует, что . Но это противоречит условию . Таким образом, q может быть равно только нулю, при этом получим a=b·q=b·0=0, что и требовалось доказать.

4. 
   Если целое число a отлично от нуля и делится на целое число b, то модуль числа a не меньше модуля числа b. То есть, если a≠0 и ab, то . Это свойство делимости непосредственно вытекает из предыдущего.
   
5. 
   Делителями единицы являются только целые числа 1 и −1.
   

Во-первых, покажем, что единица делится на 1 и на −1. Это следует из равенств 1=1·1 и 1=(−1)·(−1).
Осталось доказать, что никакое другое целое число не является делителем единицы.
Предположим, что целое число b, отличное от 1 и −1, является делителем единицы. Так как единица делится на b, то в силу предыдущего свойства делимости должно выполняться неравенство , которое равносильно неравенству . Этому неравенству удовлетворяют только три целых числа: 1, 0, и −1. Так как мы приняли, что b отлично от 1 и −1, то остается лишь b=0. Но b=0 не может быть делителем единицы (что мы показали при описании второго свойства делимости). Этим доказано, что никакие числа, отличные от 1 и −1, не являются делителями единицы.

6. 
   Чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b.
   

Докажем сначала необходимость.
Пусть a делится на b, тогда существует такое целое число q, что a=b·q. Тогда. Так как  является целым числом, то из равенства следует делимость модуля числа a на модуль числа b.
Теперь достаточность.
Пусть модуль числа a делится на модуль числа b, тогда существует такое целое число q, что . Если числа a и b положительные, то справедливо равенство a=b·q, которое доказывает делимость a на b. Если aи b отрицательные, то верно равенство −a=(−b)·q, которое можно переписать как a=b·q. Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем−a=b·q, это равенство равносильно равенству a=b·(−q). Если a – положительное, а b – отрицательное, то имеем a=(−b)·q, и a=b·(−q). Так как и q и −q являются целыми числами, то полученные равенства доказывают, что a делится на b.
Следствие 1.
Если целое число a делится на целое число b, то a также делится на число−b, противоположное числу b.
Следствие 2.
Если целое число a делится на целое число b, то и −a делится на b.
Важность только что рассмотренного свойства делимости сложно переоценить - теорию делимости можно описывать на множестве целых положительных чисел, а это свойства делимости распространяет ее и на целые отрицательные числа.

7. 
   Делимость обладает свойством транзитивности: если целое число a делится на некоторое целое число m, а число m в свою очередь делится на некоторое целое число b, то a делится на b. То есть, если am и mb, то ab.
   

Приведем доказательство этого свойства делимости.
Так как a делится на m, то существует некоторое целое число a₁ такое, чтоa=m·a₁. Аналогично, так как m делится на b, то существует некоторое целое число m₁ такое, что m=b·m₁. Тогда a=m·a₁=(b·m₁)·a₁=b·(m₁·a₁). Так как произведение двух целых чисел является целым числом, то m₁·a₁ - это некоторое целое число. Обозначив его q, приходим к равенству a=b·q, которое доказывает рассматриваемое свойство делимости.

8. 
   Делимость обладает свойством антисимметричности, то есть, если a делится на b и одновременно b делится на a, то равны либо целые числа a и b, либо числа a и −b.
   

Из делимости a на b и b на a можно говорить о существовании целых чиселq₁ и q₂ таких, что a=b·q₁ и b=a·q₂. Подставив во второе равенство b·q₁вместо a, или подставив в первое равенство a·q₂ вместо b, получим, чтоq₁·q₂=1, а учитывая, что q₁ и q₂ – целые, это возможно лишь при q₁=q₂=1или при q₁=q₂=−1. Отсюда следует, что a=b или a=−b (или, что то же самое,b=a или b=−a).

9. 
   Для любого целого и отличного от нуля числа b найдется такое целое числоa, не равное b, которое делится на b.
   

Таким числом будет любое из чисел a=b·q, где q – любое целое число, не равное единице. Можно переходить к следующему свойству делимости.

10. 
    Если каждое из двух целых слагаемых a и b делится на целое число c, то сумма a+b также делится на c.
    

Так как a и b делятся на c, то можно записать a=c·q₁ и b=c·q₂. Тогдаa+b=c·q₁+c·q₂=c·(q₁+q₂) (последний переход возможен в силураспределительного свойства умножения целых чисел относительно сложения). Так как сумма двух целых чисел является целым числом, то равенство a+b=c·(q₁+q₂) доказывает делимость суммы a+b на c.
Это свойство можно распространить на сумму трех, четырех и большего количества слагаемых.
Если еще вспомнить, что вычитание из целого числа a целого числа bпредставляет собой сложение числа a с числом −b (смотрите правило вычитания целых чисел), то данное свойство делимости справедливо и для разности чисел. Например, если целые числа a и b делятся на c, то разностьa−b также делится на с.

11. 
    Если известно, что в равенстве вида k+l+…+n=p+q+…+s все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b, то и этот один член делится на b.
    

Допустим, этим членом является p (мы можем взять любой из членов равенства, что не повлияет на рассуждения). Тогда p=k+l+…+n−q−…−s. Выражение, получившееся в правой части равенства, делится на b в силу предыдущего свойства. Следовательно, число p также делится на b.

12. 
    Если целое число a делится на целое число b, то произведение a·k, где k – произвольное целое число, делится на b.
    

Так как a делится на b, то справедливо равенство a=b·q, где q – некоторое целое число. Тогда a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (последний переход осуществлен в силу сочетательного свойства умножения целых чисел). Так как произведение двух целых чисел есть целое число, то равенство a·k=b·(q·k)доказывает делимость произведения a·k на b.
Следствие: если целое число a делится на целое число b, то произведениеa·k₁·k₂·…·k_n, где k₁, k₂, …, k_n – некоторые целые числа, делится на b.

13. 
    Если целые числа a и b делятся на c, то сумма произведений a·u и b·v видаa·u+b·v, где u и v – произвольные целые числа, делится на c.
    

Доказательство этого свойства делимости аналогично двум предыдущим. Из условия имеем a=c·q₁ и b=c·q₂. Тогдаa·u+b·v=(c·q₁)·u+(c·q₂)·v=c·(q₁·u+q₂·v). Так как сумма q₁·u+q₂·v является целым числом, то равенство вида a·u+b·v=c·(q₁·u+q₂·v) доказывает, чтоa·u+b·v делится на c.
На этом закончим обзор основных свойств делимости.