История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Определение. Пусть а - целое неотрицательное число, а b - число натуральное. Разделить а на b с остатком - это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = b q + r , причем 0 < r г < b.
Из этого определения следует, что делить с остатком можно не только большее число на меньшее, но и меньшее на большее. Например, при делении числа 5 на 9 получаем, что неполное частное равно 0, а остаток 5: 5=0×9 + 5. Вообще если а < b то при делении а на b с остатком получаем q = 0 и r = а.
Если при делении а на b с остатком оказывается, что r = 0. то говорят, что имеем деление нацело. Вообще r = 0 тогда и только тогда, когда а делится на b.
В связи с этим новым действием возникают вопросы: если заданы числа а и b, всегда ли можно найти такие q и r,что будет выполняться равенство а = b q + r , причем 0 < r г < b. Если такая пара чисел q и r существует, то единственна ли она для заданных чисел а и b. Ответ на эти вопросы дает следующая теорема.
Теорема 29. Для любого целено неотрицательного числа а и натурального b > существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что а = b q + r, причем 0 < r < b. И эта пара чисел q и r г единственная для: заданных а и b .
Доказательство существования. Обозначим через М множество целых неотрицательных чисел, кратных b и не превосходящих а:
М = {х\х = bу, х £ а}
Так как для всех чисел из этого множества выполняется неравенство х £ а + 1, то в множестве М есть наибольшее число, которое обозначим через х₀.
Это число = имеет вид х₀ = bq, причем число b(q + 1) уже не при­надлежит множеству М и поэтому b(q + 1) > а.Итак, найдено число q, такое, что bq <а< b(q + 1) . Из этих неравенств следует, что 0 < а - bq < b Если обозначитьа – bq через r. то имеем: а - bq = r, т.е. а = b q + r и 0 £ r < b. Это означает, что q - неполное частное, а rг -остаток при делении а на b.
Доказательство единственности. Предположим, что b q + r, где 0 £ r < b и а = b q₁ + r₁, где 0 £ r₁ < b, причем, например, r > r₁,. Тогда имеем: b q + r = b q₁ + r₁, и поэтому r - r₁ = b q₁ - b q= b( q₁ - q). Поскольку 0 £ r₁ < r < b, то r - r₁ < b. С другой стороны, r - r₁ = b( q₁ - q) и потому делится на b.
Пришли к противоречию, так как натураль­ное число, меньшее, чем b, не может делиться на b . Это противоре­чие и доказывает, что другой пары чисел с требуемыми свойствами не существует, следовательно, деление с остатком однозначно опре­делено.
В любом начальном курсе математики изучается деление с остатком, так как оно лежит в основе алгоритма деления многозначного числа на многозначное. При этом часто используется запись: 9:2 = 4 (ост. 1). Учащиеся запоминают, что если при делении получается остаток, то он всегда меньше делителя.
Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.
Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.
Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что Nа а}. N и х = {х\ х
Например, отрезок N7 - это множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, т.е. N7 = {1,2,3,4, 5, 6, 7}.
Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.
1) Любой отрезок Nа содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка Nа.
2) Если число х содержится в отрезке Nа а, то и непосредственно следующее за ним число х+1 также содержится ви х Nа.
Действительно, если х  Nа, и х  а, то х < а. Это означает, что существует такое натуральное число с, что а = х + с. Если с= 1, то а= х + с. Если с = 1, то а = х + 1, а значит, х + 1 содержится в Nа. Если же с > 1, то с - 1 – натуральное число и, следовательно, а = х + с = (х + 1) + (с - 1). Но тогда х + 1 < а, т.е. х + 1 - натуральное число, принадлежащее отрезку Nа.
Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Nа натурального ряда.
Например, множество А вершин треугольника - конечное множество так как оно равномощно отрезку N3 = {1, 2, 3}, т, е. А ~ N3.
Теорема 31. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда,
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Nа, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.
Например, если А - множество вершин треугольника, то п(А) = 3. Из данного определения и теоремы 31 получаем, что для любого непустого конечного множества А числоа = п(А) единственное.
Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества Л.
Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться эле­менты множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассмат­ривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить чис­ло 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, по­следнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.
В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, пер­вый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д.
Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.