История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10² + 4 * 10¹ + 6 * 10⁰
Здесь знаками равенства отделены три способа записи одного и того же числа. Для нас наиболее интересна третья форма записи: 2 * 10² + 4 * 10¹ + 6 * 10⁰ . Она построена следующим образом:
В нашем числе три цифры. Старшая цифра "2" имеет номер 3. Так вот она умножается на 10 во второй степени. Следующая цифра "4" имеет порядковый номер 2 и умножается на 10 в первой степени. Уже видно, что цифры умножаются на десять в степени на единицу меньше порядкового номера цифры.


При этом пользуются следующим алгоритмом:
1) цифра в каждой позиции умножается на основание в степени на 1 меньшую, чем номер позиции;
2) полученные таким образом значения складываются.
Например:
123₁₀ = 1 * 10² + 2 * 10¹ + 3 * 10⁰;
1023.28₁₀ = 1 * 10³ + 0 * 10² + 2 * 10¹ + 3 * 10⁰ + 2 * 10^-1 + 8 * 10^-2
В других системам счисления такой перевод будет выглядеть следующим образом:
123₈ = 1х8² + 2 х 8¹ + 3 х 8⁰ = 83₁₀;
101₂ = 1 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2⁰ = 5₁₀;
1Е3₁₆ = 1 х 16² + 14 х 16¹ + 3 х 16⁰ = 483₁₀.
Здесь индекс числа служит указанием на основание системы счисления. Назовем основанием системы счисления число, равное мощности множества (т.е. количеству элементов множества) различных символов, допустимых в каждой позиции числа.
Десятичная система счисления является однородной. Это означает, что одних и тех же символов достаточно для изображения любого числа. Но в повседневной жизни мы пользуемся и неоднородными системами счисления, и системами счисления с другим основанием. Пример тому – неметрические системы единиц (1 пуд=40 фунтов), система счета времени (1 минута = 60 секунд).
В дальнейшем мы будем рассматривать однородные позиционные системы счисления.
Обозначим через p основание системы счисления. Тогда веса позиций числа могут быть представлены следующим образом:

Таким образом, любое число X в позиционной системе счисления с основанием p можно представить в следующейразвернутой форме записи:
,
или
,
где,
p – основание системы счисления;
m – количество позиций или разрядов, отведенное для изображения целой части числа;
s – количество разрядов, отведенное для изображения дробной части числа;
n = m + s – общее количество разрядов в числе,
a_i – любой допустимый символ в разряде (т.е. должен принадлежать множеству {0,1, p-1}).
Заметим, что число, равное основанию системы счисления, в самой системе счисления записывается в виде:
p_p=10_p
В компьютерных науках наибольшее распространение получила не десятичная, а системы счисления с основанием, кратным 2 – двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
В двоичной системе счисления допустимыми символами являются только 0 и 1, а само число может быть представлено в виде последовательности нулей и единиц.
Например:
11010010₂ = 1 * 2⁷ + 1 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 162₁₀
В восьмеричной системе счисления допустимыми символами являются 0,1,…7.
Например: