246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100
Здесь знаками равенства отделены три способа записи одного и того же числа. Для нас наиболее интересна третья форма записи: 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100 . Она построена следующим образом:
В нашем числе три цифры. Старшая цифра "2" имеет номер 3. Так вот она умножается на 10 во второй степени. Следующая цифра "4" имеет порядковый номер 2 и умножается на 10 в первой степени. Уже видно, что цифры умножаются на десять в степени на единицу меньше порядкового номера цифры.
При этом пользуются следующим алгоритмом:
1) цифра в каждой позиции умножается на основание в степени на 1 меньшую, чем номер позиции;
2) полученные таким образом значения складываются.
Например:
12310 = 1 * 102 + 2 * 101 + 3 * 100;
1023.2810 = 1 * 103 + 0 * 102 + 2 * 101 + 3 * 100 + 2 * 10-1 + 8 * 10-2
В других системам счисления такой перевод будет выглядеть следующим образом:
1238 = 1х82 + 2 х 81 + 3 х 80 = 8310;
1012 = 1 х 22 + 0 х 21 + 1 х 20 = 510;
1Е316 = 1 х 162 + 14 х 161 + 3 х 160 = 48310.
Здесь индекс числа служит указанием на основание системы счисления. Назовем основанием системы счисления число, равное мощности множества (т.е. количеству элементов множества) различных символов, допустимых в каждой позиции числа.
Десятичная система счисления является однородной. Это означает, что одних и тех же символов достаточно для изображения любого числа. Но в повседневной жизни мы пользуемся и неоднородными системами счисления, и системами счисления с другим основанием. Пример тому – неметрические системы единиц (1 пуд=40 фунтов), система счета времени (1 минута = 60 секунд).
В дальнейшем мы будем рассматривать однородные позиционные системы счисления.
Обозначим через p основание системы счисления. Тогда веса позиций числа могут быть представлены следующим образом:
Таким образом, любое число X в позиционной системе счисления с основанием p можно представить в следующейразвернутой форме записи:
,
или
,
где,
p – основание системы счисления;
m – количество позиций или разрядов, отведенное для изображения целой части числа;
s – количество разрядов, отведенное для изображения дробной части числа;
n = m + s – общее количество разрядов в числе,
ai – любой допустимый символ в разряде (т.е. должен принадлежать множеству {0,1, p-1}).
Заметим, что число, равное основанию системы счисления, в самой системе счисления записывается в виде:
pp=10p
В компьютерных науках наибольшее распространение получила не десятичная, а системы счисления с основанием, кратным 2 – двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
В двоичной системе счисления допустимыми символами являются только 0 и 1, а само число может быть представлено в виде последовательности нулей и единиц.
Например:
110100102 = 1 * 27 + 1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 16210
В восьмеричной системе счисления допустимыми символами являются 0,1,…7.
Например:
Do'stlaringiz bilan baham: |