История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Теорема 23.Для того чтобы существовало частное двух нату­ральных чисел а и b, необходимо, чтобы b < а.
Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b суще­ствует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а.Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 £ с, то, ум­ножив обе его части на натуральное число b, получим b £ bс. Но bс = а, следовательно, b £ а.
Теорема 24.Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.
Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.
Теорема 25.Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. (а + b):с = а:с + b:с.
Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х = а;с, что а = сх.Аналогично существует такое натуральное число у = b:с, что
b = су. Но тогда а + b = сх + су =- с(х + у). Это значит, что а + b делится на c, причем частное, полу­чаемое при делении суммы а + b на число c, равно х + у, т.е. ах + b : с.
Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деле­ния суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, доста­точно разделить на это число каждое слагаемое и полученные резуль­таты сложить.
Теорема 26.Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на c, причем частное, получаемое при делении разности на число c, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на c, т.е. (а - b):с = а: с - b:с.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказатель­ству предыдущей теоремы.
Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления раз­ности на число: длятого, чтобы разделить разность на число, доста­точно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.