Интегралы1

1. Изучим сначала интегрирование простейших (элементарных) рациональных дробей.
Определение. Правильные рациональные дроби вида


I.




II. /k – натуральное число ≥ 2/,


III. /знаменатель не имеет действительных корней, т. е.

; A, B, a, p, q – действительные числа /,

IV. /k – натуральное число ≥ 2; знаменатель не имеет действительных корней/,
называются соответсвенно простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.
Интегрирование дробей первых трёх типов осуществляется просто.

/см. §3/.

Интегрирование простейших дробей IV типа осуществляется таким же методом, но выкладки значительно сложнее. Мы в этом же параграфе рассмотрим метод Остроградского, который позволит интегрировать любые рациональные дроби, применяя интегралы только от простейших дробей первых трёх типов.


2. Разложение рациональной дроби в сумму рациональных дробей.

Справедлива (доказательство опускаем) следующая

Теорема Всякая правильная несократимая рациональная дробь может
быть представлена как сумма конечного числа простейших рациональных дробей, а именно
е сли (2)

т о дробь может быть представлена в виде:

(3)


На практике эту теорему применяют следующим образом. Каким – либо образом знаменатель дроби Q(x) представляют в виде (2), причём квадратные трёхчлены имеют дискриминанты отрицательные и потому уже не могут разлагатся в произведение линейных множителей с действительными коэффициентами. Затем пишут для дроби

соответствующее разложение (3) с буквенными коэффициентами A,A₁, … L_-1,