Интегралы1

S_-1. Эти коэффициенты определяют по методу неопределённых коэффициентов. Равенство (3) есть тождество, поэтому, приведя дроби справа к наименьшему общему знаменателю (он, очевидно будет равен Q(x)), получают тождественное равенство числителей, двух многочленов – P(x) и того, который получится справа. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получают систему линейных уравнений относительно A, A₁, A₂, … L_-1, S_-1, из которой их и определяют.
Замечание 1. Уравнение для определения коэффициентов можно получать и другим способом. Т. к. полученное равенство числителей есть тождество, то давая x конкретные (удобные!) значения, имеют необходимые уравнения для определения этих коэффициентов (более простые, чем в описанной выше системе).
Замечание 2. Из выше изложенного следует такой вывод: неопределённый интеграл от рациональной функции всегда может быть выражен через конечное число элементарных функций.


П
римеры 1) Вычислить интеграл
Подинтегральная функция f(x) является правильной рациональной дробью. Знаменатель уже разложен в произведение простых (неприводимых) множителей, т. к. x² + 2 не имеет действительных корней /x_1,2 =  i 2/.
Р
азложим подинтегральную дробь в сумму простейших дробей:
Приведём дроби справа к наименьшему общему знаменателю и приравняем числители:
x³ + 4x² + 6  A(x² + 2) + B(x +1)(x² + 2) + (Cx + D)(x +1)². (4)
или x³ + 4x² + 6 = (B + C)x³ + (A + B + 2C +D)x² + (2B + 2D + C)x + (2A + 2B + D).
Приравнивая коэффициенты при x³, x², x¹, x⁰, получим систему четырёх линейных уравнений с четырмя неизвестными A, B, C, D: