Интегралы1

1) Интегрирование выражений R (x,x^m/n,…,x^r/s), где m/n,...,r/s рациональные дроби. Здесь символ R (x,x^m/n,…,x^r/s) означает, что над x,x^m/n,…,x^r/s производятся только рациональные действия (четыре перечисленных выше и возведение в натуральную степень). /“R”=”рациональное выражение от...”/. Пусть k – наименьший общий знаменатель дробей m/n,...,r/s. Осуществим замену X = t^k , тогда dx = kt^k-1dt.
Каждая дробная степень X тогда выразится через натуральную степень t и потому
подинтегральное выражение станет рациональной функцией от t. В этой связи замену X = t^k называют рационализирующей подстановкой.


Пример. Вычислить неопределённый интеграл


Решение. Т. к. то наименьший общий знаменатель дробей 1/3 и 1/6

б
удет 6. Потому берём x = t⁶ , откуда dx = 6t⁵dt и . Тогда

2. 
   Интегрирование выражений
   

П усть k – наименьший общий знаменатель дробей m/n, … ,r/s. Осуществляя замену

мы сведём интеграл от этого иррационального выражения к интегралу от

рационального выражения по t.

Пример. Вычислить интеграл



Положим

• 
  интеграл от
  
• 
  
• 
  рациональной. функции.
  

Разлагаем подинтегральную функцию на простейшие рациональные дроби по методу неопределённых коэффициентов:
З
атем проинтегрируем их и перейдём в результате к первоначальному аргументу x.