Интегралы1

(- ,0) и будет там первообразной для f(x) = 1/x, т. к. (ln(-x)) = (1/(-x))(-1) = 1/x. Следовательно, для x ( - ,0) имеем _ (dx)/x = ln(-x) +C. (4)

Обычно пользуются формулой _ (dx)/x = ln |x| +C, (5)

которая справедлива для любых x  0 и, очевидно, объединяет формулы (3) и (4).

§2 Таблица основных неопределённых интегралов.

Таблица неопределённых интегралов от часто встречающихся элементарных функций может быть получена на основе определения 2(#1) и таблицы основных производных, которая была получена раньше. Доказательство всех формул / кроме номеров 7,8,11,13/ легко осуществляется на основе свойства 1 #1, согласно которому производная от правой части равенства должна равнятся подинтегральной функции.

1. (  - 1) /Здесь и во всех остальных формулах С означает произвольную постоянную/.


2. _ (dx)/x = ln |x| + C /Это верно согласно формуле (5) §1/.
3. _sin x dx = - cos x + C. 10. _ ^(dx)_/(a2_+x2₎ = ¹/_a arctg ^x/_a + C.
4. _cos x dx = sin x + C. 10. _ ^(dx)_{/(1 + x}2₎ = arctg x + C.


_{5. } ^(dx)_/(cos2 _{x) = tg x + C. 11. 11.}
6 . _ ^(dx)_/(sin2 _x) = – ctg x + C.
12.
7 . _tg x dx = – ln |cos x| + C.