Интегралы1

a) Если функция R(sin x, cos x) изменяет знак при изменении знака sin x на – sin x, то применяют подстановку t = cos x
Действительно, если R(– sin x, cos x) = – R(sin x, cos x) имеет вид R(sin x, cos x) = R₁(sin² x, cos x)sin x и _ R(sin x, cos x) dx = _ R₁(sin² x, cos x)sin x dx =
= –_R₁(1 – cos² x, cos x)d cos x = –_R₁(1 – t², t) dt → интеграл от рациональной функции по t.
b) Совершенно аналогично, если R(sin x, – cos x) = – R(sin x, cos x), то применяется подстановка t = sin x . В этом случае R(sin x, cos x) = R₂ (sin x,
cos² x)cos x и _R(sin x, cos x) dx = R₂(sin x, cos² x)cos x dx = _R₂(t, 1 – t²) dt → интеграл от рациональной функции по t.


Пример. изменяем на противоположный знак при изменении знака sin x. t = cos x

• 
  п ришли к интегралу от рациональной дроби.
  

Интегрируя её и заменяя в конечном результате t = cos x, вычислим исходный интеграл.
c) Если функция R(sin x, cos x) не изменяет знака при одновременной замене знаков и sin x и cos x, то применим подстановку t = tg x (это в частности, когда sin и cos входят только в чётных степенях)
Действительно, т. к. R(– sin x, – cos x) = R(sin x, cos x), то можно записать


R(sin x, cos x) = Но R₁ = R и поэтому не

изменяет знака, т. е. А это может быть, если

cos x на самом деле входит лишь в чётных степенях, т. е.

Но тогда

_R(sin x, cos x) dx =

Применяем t = tg x, x = arctg t,

интеграл от рациональной функции.

Пример. Знак не меняется при одновременной замене.





t = tg x, x = arctg t,



2. Вычисление интегралов вида
_ sin mx cos nx dx, _cos mx cos nx dx, _sin mx sin nx dx.

Они легко сводятся к сумме простых интегралов с применением формул тригонометрии.
Пример. _ sin 5x cos 2x dx = ¹/_2 (sin 7x sin 3x) dx = ¹/_14 sin 7x d(7x) + ¹/_6 sin 3x d(3x) = – ¹/₁₄cos 7x – ¹/₆ cos 3x.


3. Вычисление интегралов вида
_ sin^m x cosⁿ x dx (m и n – целые).
Если хоть одно из m или n нечётное, то применима подстановка t = cos x или t = sin x. Причём интеграл сводится при этом к степенному интегралу. Основная идея: функции cos и sin берут от нечётной степени и подводят под знак дифференциала, выражая оставшееся через эту функцию.
Пример. _ cos² x sin³ x dx = _ cos² x sin² x sin x dx = – _ cos² x sin² x dcos x =


= –_ cos² x (1 – cos² x) dcos x = –_(cos² x – cos⁴ x) dcos x =


Е
сли оба m и n чётные, то (как в 1)с) ) применима подстановка t = tg x . Однако, иногда удобно применять понижение степени с помощью формул:
Замечание. Интеграл вида _sin^m x cosⁿ x dx подстановкой t = sin²x или t = cos²x всегда можно свести и к интегралу от биноминального дифференциала.


4. Интегрирование выражений, содержащих показательную функцию е^x.
Рассмотрим несколько случаев:
а) I = _ R(е^x) dx – рационализирующей подстановкой является t = е^x  x = ln t,

• 
  интеграл от рациональной функции по t.
  

b) Интеграл вида I = _е^x cos bx dx и I = _е^x sin bx dx берутся по частям способом приведения t к самому себе. I = _ е^x cos bx dx, I = _ е^x sin bx dx
u = cos bx u = sin bx
d = е^x dx d = е^x dx
c) Интегралы вида _P(x) е^x sin bx dx и _P(x) е^x cos bx dx сводятся, очевдно, к интегралам вида _x^m е^x sin bx dx и _x^m е^x cos bx dx. Они вычисляются по частям понижением степени x.
u = x^m du = mx^m–1dx
d = е^x cos bx dx и т. д.
Доходим до x⁰ и вычисляем интеграл как раньше в b).