Интегралы1

1) Производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной функции:
(_f(x)dx)` = (F(x) + C)` = f(x)
Дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению:
d(_f(x)dx) = (_f(x)dx)`dx = f(x)dx
2) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
<sub></sub>dF(x) = F(x) + C
В самом деле, т.к. dF(x) = F`(x)dx, то _dF(x) = _F`(x)dx = F(x) + C
/последнее равенство следует из того простого факта, что функция F(x) является первообразной для своей производной: [F(x)]` = F`(x)/
3) Неопределённый интегрл от алгебраической суммы нескольких интегрируемых функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от отдельных слагаемых.
_ [f₁(x)f₂(x)...f_n(x)]dx = _f₁(x)dx..._f_n(x)dx (1)
4) Можно выносить постоянный множитель из под знака неопределённого интеграла, т. е., если k = const, то _kf(x)dx = k_f(x)dx (2)
Свойства 3 и 4 доказываются аналогично. Докажем, например, свойство 4, т. е. справедливость равенства (2) /свойство 3 т. е. равенство (1) доказать самостоятельно, можно для простоты взять n = 2/.
На основании свойства 1 имеем:
(_kf(x)dx) = kf(x)
и (k_f(x)dx) = k(_f(x)dx) = kf(x).
Таким образом, производные от обеих частей равенства (2) совпадают, но тогда совпадают и семейства первообразных, т. е. написанные неопределённые интегралы в левой и правой частях равенства (2). Именно в этом смысле и нужно понимать равенство (2) / и, соответственно, (1)/.
Замечание. Мы отмечали уже, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, но одна и та же функция может иметь на разных промежутках разные первообразные. Например, функция f(x) = 1/x определена и непрерывна на ( ^- ,0) и (0,+ ).
На (0,+ ) первообразной для f(x) = 1/x будет очевидно F(x) = ln x , т. к. (ln x) = 1/x.
Следовательно для x _(0,+ ) имеем _ (dx)/x = ln x + C. (3)
На ( - ,0) ln x не может быть первообразной для f(x) = 1/x, т. к. ln x там даже не существует. Однако, нетрудно заметить, что функция ln(-x) существует на