Интегралы1

12'. .
^{8 .} _ctg x dx = ln |sin x| +C.
13.
9. _a^x dx =^(ax)_{/(ln a)} + C.


9. _e^x dx = e^x + C.
Проверим, например, формулу 9.


(a^x_{/ln a} + C) = (¹_{/ln a} a^x)' + 0 = (¹_{/ln a} a^x ln a) = a^x – Получим подинтегральную функцию, что и доказывает верность формулы 9.
^{Самим проверить справедливость формул 1,3,4,5,6,9,9',10',12'.}
Замечание. Формулы с абсолютной величиной 7,8,11,13,будут получены немного позже на основе общих результатов.
Вычисление неопределённых интегралов только с помощью таблиц основных интегралов и свойств 1 – 4(§1) называют прямым интегрированием.
Примеры 1) _ (3x² + 4sin x – 3√x)dx = _3x²dx + _4sin x dx – _3√x dx =
= 3_x²dx + 4_sin x dx – 3_x^0,5dx = 3(x³/3) – 4cos x – 3(x^1,5/1,5) + C =
= x³ – 4cos x – 3(x^1,5/1,5) + C = x³ – 4cos x – 2x√x +C.



2) = ¹_{/3 } (2x + x^-0,5 – ¹_/x) dx =

= ¹_/3[ 2_x dx + _x^–0,5dx – _ ^(dx)_/x] = ¹_/3[x² + x^0,5_/0,5 – ln|x|] + C =
= ¹_/3 [x² + 2√x – ln|x|] + C.


§3. Общие методы вычисления неопределённого интеграла.

1. 
   Интегрирование заменой переменной.
   

Часто не удаётся вычислить неопределённый интеграл прямым интегрированием,

хотя мы знаем, что он существует (подинтегральная функция, например, непрерывна).
Во многих случаях могут помочь общие методы интегрирования: замена переменной интегрирования и интегрирование по частям. Первый метод основан на следующей теореме.
Нужно вычислить неопределённый интеграл _f(x)dx.
Если существует функция x = φ(t) непрерывная, имеющая непрерывную производную и однозначную обратную функцию, то справедливо равенствo


(1)


Доказательство. Для доказательства равенства (1) достаточно показать равенство производных по x от обеих частей этого равенства.
Найдём эти производные:

/По свойству 1 §1/




/мы дифференцируем это выражение, считая t функцией от x, например t = (x), по условию она существует/.


/т.к. x = φ (t) и ,то /

что и требовалось доказать//.

Эту теорему применяют по двум направлениям .

1. 
   Преобразуют сначала выражение под знаком интеграла и затем производят замену переменной. Это метод подведения некоторого выражения (множителя) под знак дифференциала:
   

_f(x)dx = _φ[g(x)]g΄(x)dx = _φ[g(x)]d[g(x)] = _φ(t)dt = Φ(t) + C = Φ[g(x)] + C

2. 
   Производят замену переменной сразу (это труднее, т. к. необходимо найти удачную замену): _f(x)dx = _f[φ(t)]d[φ(t)] = _g(t)dt = G(t) + C = G[ψ(x)] + C.
   

/Здесь t = ψ(x) есть функция, обратная функции x = φ(t)/.
Рассмотрим несколько примеров интегрирования заменой переменной.
На первое направление:
1). _cos(5x) = ¹_/5cos(5x)d(5x) = ¹_/5cos t dt = ¹_/5 sin t + C = ¹_/5 sin 5x + C.

2). arcsin t + C =

= arcsin (ln x) + C.

3).
= arcsin t + C = arcsin(x-1) + C.

Докажем формулы 7,8 и 11 таблицы интегралов (§2).

4).
5). _ctg x dx = /самостоятельно/.

6).

7).

8). _ sin 2x dx = /самостоятельно, используя формулу /.

9).

10).


Замечание. Подведением “множителя” под знак дифференциала вычисляются следующие интегралы:
_ g(sin x) cos x dx /sin x =t/; _ g(cos x) sin x dx


/cos x = t/;
На второе направление. Функция х = φ(x) должна быть выбрана так, чтобы интеграл по t, получающийся в правой части формулы (1), уже мог бы быть вычислен известными способами.

11). \Сделаем замену или, всё равно, x = t⁶. Тогда dx = 6t⁵dt.\

И
меем \разделим числитель на знаменатель следуя правилу деления полиномов.\

12). Докажем формулу 13 из таблицы

Сделаем замену

Тогда откуда

Итак,

Если подинтегральное выражение включает элемент обычно делают замену x = a cos t или x = a sin t / x = a tg t или x = a Sh t /.

1 3). / положим x = a cos t; тогда t = arccos x/a,

/ dx = – a sin t dt,

14). /Вычислить самостоятельно./

Ответ:

Сделаем ещё одно замечание. Как мы видим, замена переменной является эффективным методом вычисления неопределённых интегралов. Но для успеха нужно уметь выбрать для данного интеграла именно ту замену, которая упростит вычисления. Рассмотрим в качестве примера ещё два неопределённых интеграла, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе:

П
режде всего выделим “полный квадрат” в знаменателе:

Теперь интеграл I₁ можно записать в виде

– это уже табличные интегралы 10 или 11.

П ример 15)
Вычислить интеграл Рассмотрим теперь интеграл I₂.
П
ерепишем интеграл в виде

16). Вычислить

Применим рассуждения, изложенные выше.

1
7) Вычислить самостоятельно

2. 
   Интегрирование по частям.
   

Рассмотрим второй общий метод интегрирования. Пусть u = u(x) и δ = δ(x) две дифференцируемые функции от x. Найдём дифференциал произведения u∙δ
d(uδ) = udδ + duδ

Интегрируя почленно это равенство, получим

uδ =_udδ + _δdu.
или _udδ = uδ – _δdu. (2).
Формулу (2) и называют формулой интегрирования по частям. Она заменяет вычисление данного интеграла _udδ вычислением _δdu (uδ – это уже часть ответа) и её применение оправдано, если этот новый интеграл вычисляется проще. Разбиение подинтегрального выражения в данном интеграле на два множителя u и dδ зависит от вида этого выражения и определённого навыка, приобретаемого через решение достаточного количества примеров (dx, конечно, всегда входит в dδ). Рассмотрим некоторые особенности применения формулы (2) на конкретных примерах.


1) I =_ x ln x dx = ? Итак
П оложим u = ln x dδ = xdx