Интегралы1

Замечание. Когда мы определяем δ по dδ, можно брать С = 0, т. к. дальнейшие вычисления будут проще, а окончательный результат (значение I) не пострадает, потому что произвольная постоянная С появится там вместе с вычислением δdu.


2).


u = x² du₁ = dx


dδ = e^xdx δ₁ = e^x =e^x(x² – 2x–1) + C.

Как мы видим, в одном примере можно применять формулу (2) несколько раз.

Метод интегрирования по частям применяется часто. Именно по частям вычисляются неопределённые интегралы вида:
_ x^ksin(ax)dx, _ x^kcosaxdx, _ x^ke^axdx, _ x^ka^bxdx, /u=x^k, нужно прим. ф-лу (2) k раз/.
_ x^kln(ax)dx, _ x^karcsin x dx, _ x^karccos xdx, _ x^karctg x dx, _ x^karcctg x dx
/u = ln ax или u = arcsin x,…/


3)


u = arccos x


dδ = dx


4). I = _ e^xsin x dx = – e^xcos x + _ e^xcos x dx = – e^xcosx + [e^xsin x – _ e^xsin x dx] =
= e^x(sin x – cos x) – I


u = e^x du = e^xdx u₁ = e^x du₁ = e^xdx
dδ = sin x dx δ = – cos x dδ₁ = cos x dx δ₁ = sin x

Выражая I из полученного (подчёркнутого) равенства, мы окончательно получим:

2 I = e^x(sin x – cos x) и I = ½ e^x(sin x – cos x)
Возникшую после двухкратного применения формулы (2) ситуацию обычно называют приведением интеграла к самому себе.
5). Самостоятельно вычислить неопределённые интегралы.
а) I = _x arctg x dx Ответ: I = ½[(x² +1)arctg – x] + C.


б) I = _ (x² + 7x – 5)cos 2x dx


Ответ:
/Указание: u = x² + 7x – 5/


c) Ответ:

/Указание: дважды/.

§4. Некоторые общие замечания об интегрировании функций.
Мы уже отмечали (пока без доказательства), что всякая непрерывная функция является интегрируемой, т. е. Неопределённый интеграл _ f(x)dx = F(x) + C существует. Однако, далеко не всегда первообразная F(x) может быть выражена некоторой элементарной функцией. Часто в таких случаях говорят, что неопределённый интеграл “не берётся в конечном виде”. Примерами “неберущихся” интегралов могут служить

, _ sin(x²)dx, _ cos(x²)dx.

и многие другие. Эти первообразные функции существуют, но, не являясь элементарными функциями, очевидно представляют функции иной природы. Некоторые из этих неэлементарных функций часто используются на практике и хорошо изучены, табулированы. Некоторые даже получили специальные обозначения и названия:

– интегральный синус, – интегральный косинус,

– интегральный логарифм, –

эллиптический интеграл.

С помощью первообразной Лаплас определил “свою” функцию

/функцию Лапласа/

Она имеет широкие применения в теории вероятностей. Можно утверждать, что большинство первообразных не выражаются через конечное число операций над элементарными функциями (не берутся в конечном виде).

Поэтому очень важно определить и изучить те классы функций, первообразные от которых являются элементарными функциями (берутся в конечном виде).Наиболее простым и важным таким классом являются рациональные функции.

§5. Интегрирование рациональных функций.

Рациональной функцией называется функция, являющаяся отношением двух многочленов (полиномов):

Если Q(x) ≡ 1, то f(x) = P(x) , т.е. многочлен является частным случаем рациональной функции – целая рациональная функция. Рациональную функцию (1) /Q(x)≢1/ называют дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью).

Без ограничения общности можно считать, что многочлены P(x) и Q(x) не имеют одинаковых нулей (корней), т. к. в противном случае можно сократить дробь (1) на общие множители.
Рациональною дробь (1) называют правильной, если степень числителя ниже степени знаменателя, т. е. n < m. Если же n ≥ m, (1) называется неправильной.
Если рациональная дробь (1) неправильная, то её можно всегда представить в виде суммы целой рациональной функции (целой части) и правильной рациональной дроби. /например, деля числитель на знаменатель как два полинома/:
г
де R(x) – полином, P₁(x)/Q₁(x) – правильная дробь.
Интегрирование полинома не составляет труда, поэтому будем рассматривать

полагая P(x)/Q(x) правильной.