И здан и е второе, стереотипное

1 
у 
л, что и даст упомянутую систему
с! ~  Х 2  */* (*) 
= М Ч  
/ = 1 ,2 ........п. 
( 10)
*«=1
Здесь введены обозначения
a-jk (X) = (w k. к, uj), 
f j (X) = (R 'J, Uj). 
(11)
Уравнение (4) и система (10) эквивалентны в следующем 
смысле. Каждому решению системы (10) соответствует по 
формуле (9) некоторое решение уравнения (4); наоборот, каж­
дому решению уравнения (4) формула ( 8) приводит в соот­
ветствие некоторое решение системы ( 10).
Важно отметить, что а у* (X), так же как и /ДХ), суть 
голоморфные функции комплексной переменной X в замкну­
том круге | X j ^ R . Действительно,
я ; = 2  xs 7^.
причем ряд сходится в круге | X | <^ 2/? — это следует из 
неравенства (5). Теперь
«У*(Ь>= 2 Ь'(Г*т>*. «А 
(12)
5 = 0
Степенной ряд (12) по-прежнему сходится в круге [Xj<^2R, 
поэтому функция «у*(Х) голоморфна в этом круге и, тем 
более, в замкнутом круге | X | ^ R. В том же круге голомор­
фен и определитель системы ( 10)
1 
—
Хаи 
(X)
—
Ха12
(X) 
. . .
- Х а , „ ( Х )
D *(X ) =
— X*jt (X)
1 
— Xctj2 (X ). 
. . .
— Хя4л 
(X)
— V ni(X )
Х(*п2 
(X) 
. .
1 
—
Ха„„ 
(X)
Если |Х|< ;/? и D/j(X)?£0, то однородная система
П
с/ — X ^ «у* W £,fc = °> 
/ — 1. 2, . .. , л, 
(14) 
fc = i

---

(/ — Х7')ы = 0 
(15)
имеют только тривиальное решение. Если же D^(X) = 0, то 
система (14) и уравнение (15) имеют конечное число линейно 
независимых нетривиальных решений. Отсюда следует, что 
характеристические числа оператора Т, лежащие в зам к­
н уто м круге | X | sg; R, совпадают с корнями определителя 
Dff(k), лежащ ими в т о м ж е круге.
Теперь нетрудно доказать первую теорему Фредгольма. 
Пусть 
— характеристическое число оператора Т. Возьмем 
Тогда D^(X0) = 0; система (14) и уравнение (15) 
имеют при Х = Х0 только конечное число линейно независи­
мых решений и, значит, ранг характеристического числа Х„ 
конечный.
Докажем вторую теорему Фредгольма.
Голоморфная в замкнутом круге | X | sg: R  функция D
r
(X) 
имеет в этом круге только конечное число корней. Отсюда 
следует, что в любом кольце 
| X | ^ N-\- 1, Л / = 0, 1, 
2, . . . , находится только конечное число характеристических 
чисел оператора Т. Указанные кольца покрывают всю Х-пло- 
скость, множество всех характеристических чисел оператора 
Т представляет собой объединение счетного множества ко­
нечных множеств, а такое объединение — либо конечное, либо 
счетное. Наконец, характеристические числа не могут иметь 
предельной точки на конечном расстоянии от начала — в про­
тивном случае нашелся бы круг, содержащий бесконечное 
множество характеристических чисел.