И здан и е второе, стереотипное

§ 2» Сведение к конечномерному уравнению, 
г 
Доказательство первой и второй теорем Фредгольма
Т е о р е м а 8.2.1 ( т е о р е м а Б а н а х а ) . П у с т ь А — ог­
раниченный линейный оператор, действующий в банаховом 
пространстве X , а п усть | X | 
|| А Ц-1. Тогда оператор 
(/ — ХА)"1, где I — единичный оператор, сущ ествует, опре­
делен на всем пространстве X и ограничен.
Ряд
/ + М + ХМ, - Ь . . + Х*А* + ... 
(1)
сходится по норме, потому что ряд из норм его членов схо­
дится:
1 + | М М | | + |Х|«||А«|Ц-... + |Х|*||Л»|| + . . . <
^ 1
+ 1 Ч И 1 Ж Ч 4 | | А | | » + . . . + | х п | А | Г +
_ 1 _
—
1 
^ ---- 1- | Х||| А II*
В таком случае ряд ( 1) представляет оператор, определенный 
на всем пространстве и ограниченный; обозначая сумму ряда 
( 1) через R£, имеем
II ^ И 1 — IX I. II Л II * 
(2)
Непосредственным умножением проверяется, что(/ — Х А )Х
'X R x = R \ ( I — ХА) = / и, следовательно,
(/ — ХА)*‘ 
= R* —
^ Х" А " 
( 3>
л -0
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь уравнение
( I — Х 7 ')и = /, 
(4)
где Т  — в. н. о. в гильбертовом пространстве ф. Зададим 
произвольное положительное число R  и будем считать, что 
параметр X меняется в замкнутом круге | X | ^ R  комплексной 
Х-плоскости. На основании теоремы 7.1.1 можно построить 
конечномерный оператор — обозначим его через Т " — так, 
чтобы разность Т — Т — Т" удовлетворяла неравенству
| | Г | | « ^ .
(5)

---

По теореме Банаха оператор
R'x = R r = ( I ~ X f y \
\ \ ) ^ R
существует, определен на всем пространстве Jq 
и
ограничен. 
Уравнение (4) умножим слева на R i  При этом
R x (l — * Т) == R i ( / - X Г - XТ ") = J - Х/&Г ,
и мы получаем новое уравнение
(/ — Х/& Т ") u = R {f , 
(6)
очевидно, равносильное уравнению (4).
Докажем, что произведение R\T” конечномерно. Действи­
тельно, конечномерный оператор Т" определяется формулой 
вида
Г ' и = £ / * ( « ) * * ,
ь= I
где /*(«) — ограниченные линейные функционалы, а и* — 
фиксированные элементы пространства ф. Но тогда
П
Rx Г ’и =  2 4 (и) w k, 
wk = R {vk, 
ь= i
и оператор R { Т" конечномерный. Отметим, что элемент w k 
зависит еще и от X, поэтому ниже мы будем обозначать его 
через w „л . Далее, по теореме Риса lk{u) — (u, и*), где не­
фиксированные элементы пространства .£). Окончательно
R i Т"и —  2 (м, uk)w kx. 
(7)
*= I
Уравнение (6), а с ним и уравнение (4) легко сводятся 
к эквивалентной линейной алгебраической системе. Положим
(и, й к )= с „. 
(8)
Тогда из соотношений ( 6) и (7) получаем
П
И =
(9 )
ft- i

---

Обе части последнего равенства скалярно умножим на uJt