|
§ 3. Интегральный оператор со слабой особенностью
Пусть 2 — ограниченное измеримое множество /я-мерного
евклидова пространства, х и ? — его точки, т — х — 5 —
расстояние между этими точками. Пусть А (х, ?) — функция,
заданная и ограниченная для х,
6
£
2
\А(х, £) ^ C = const.
(1)
Функция точек л; и ;
К ( Х,
а = const, О ^ а < и ,
(
2
)
называется ядром со слабой, особенностью, а интегральный
оператор К> определяемый формулой
( Щ (х ) =
К (* . ;) а (*) <£ = J
к (?) <К,
(
3
)
называется интегральным оператором со слабой особен
ностью .
Т е о р е м а 7.3.1. Интегральный оператор со слабой
особенностью определен на всем пространстве Z.s(
2
) и
ограничен в нем. Норма этого оператора не превосходит
величины
C \S t \H"-*
т — а
*
v '
где С — постоянная неравенства (
1
), Н — верхняя грань
расстояний между точкам и (диаметр) м нож ества
2
.
Напомним, что
т
|
4
'|' = - ^ г -
с5)
Д о к а з а т е л ь с т в о .
1. Докажем, что интеграл
* 6 2
(
6
)
ограничен. Очевидно, множество 2 лежит в шаре радиуса Н
с центром в точке х, поэтому
С
й
г*
J
га •
г < Н
Введем сферические координаты с центром в точке х.
Тогда, как известно, di = r m 'dr dSv где dSi — элемент меры
на единичной сфере
Теперь имеем
Отсюда
dZ
^ | S, 1 Н т -°-
Га
* £ 2 .
(7)
Заметим сразу же, что по симметрии
—
“
! : £ § .
(7,)
2. Очевидно, существует 2/я-кратный интеграл
| S. | Н т ~*
« • ( * ) { $ £ }
т — а
А тогда, по теореме Фубини, почти при всех лг ^ 2 суще
ствует и суммируема в
2
функция точки х, определяемая
интегралом
т о
3. Имеем очевидное неравенство
I К (х Л ) и « | «£ С ^
l i ® i «г f • J , + £ • ^
.
Как это доказано в пп. 1 и 2, первое слагаемое справа сум
мируемо по £ в
2
при всех х £
2
, а второе — при почти
всех л г £
2
. Но тогда функция /С (лг, $)и(£) суммируема по
6
почти при всех х
2
.
4. По неравенству Буняковского
[(/См) (* )]! =
К (лг, 5) и (?) Л J* <
Функция (
8
) суммируема в 2, а тогда интеграл (3) сум
мируем в 2 с квадратом. Это означает, что оператор К оп
ределен на всем пространстве 1а(2). Интегрируя последнее
неравенство по х, получим
/"'8 | с |* f /г
II
К и
II* ^ ^
— Ии IIs- -
Отсюда
Теорема доказана.
Т е о р е м а 7.3.2. Оператор со слабой особенностью
вполне непрерывен в пространстве £а(
2
).
Зададим число е^>0 и положим
так что
г < е ;
I
О,
Г
е,
* : ( Л Н к С * Д > . г < „
К (х, 5) = К , (Х, S) -f- К'г (х, £)•
Как и в предшествующем параграфе, обозначим через К ,
и К', интегральные операторы, ядра которых суть K t (x ,i)
и К', (х, ?). Очевидно, К — К,-\- К',- Ядро К£ х, 5) ограничено:
I
0
,
г <Ге,
О
и, следовательно,
(С
еа
\ к л х > т -
В таком случае оператор К , — фредгольмовский и по теоре
ме 7.2.2 вполне непрерывный в i
4
(2). Оценим норму операто
ра К'с- Обозначая для краткости (K U i)(x ) = v (x ), имеем
l " ( * ) | = |
S
^ ^ И (
6
) Л | < С
$
8
0
(г<«)
8
(1
('•<•)
и по неравенству Буняковского
,
2 П ('■<«)
ы п
('•<*)
2
.
г <
в
Введя сферические координаты с центром в точке х,
получим
Si
и,
следовательно,
/•<•
Sj 1 о
)
m
v
т — а
J
г®
«я.
Проинтегрировав последнее неравенство по х и воспользо
вавшись неравенством (70, получим
« . г * £
З Д
П
Отсюда
т — а
__
■.
(Ю )
Если €-*-0, то |1 Ке |j —►,
0
и оператор К вполне непрерывен.
З а м е ч а н и е . ’ Определения и теоремы §§ 2 и 3 об операто
рах Фредгольма и операторах со слабой особенностью без измене
ний переносятся на тот случай, когда Q есть гладкая «-мерная
поверхность в пространстве /п-j-l измерений, a
означает эле
мент площади поверхности.
§ 4. Операторы со слабой особенностью в пространстве
непрерывных функций
В настоящем параграфе предполагается, что 2 — ограни
ченное замкнутое множество в w -мерном евклидовом про
странстве и что в формуле (3.2) А (дг, £) есть функция, не
прерывная в
2
по совокупности точек
jc
и Е.
Т е о р е м а 7.4.1. Интегральный оператор со слабой
особенностью (3.3) вполне непрерывен в пространстве С (2)
функций, непрерывных в
2
,
Пусть М — множество функций из С (2 ) таких, что
*
|[ и || = шах | и
(
jc
)
|
с — const.
(
1
)
* €
8
Достаточно доказать, что множество К (М ), где К — опе
ратор (3.3), компактно в С (2). В силу теоремы Арцеля для
этого в свою очередь достаточно доказать, что множество
К (М ) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Пусть и ^ М. Положим
I»
Do'stlaringiz bilan baham: |
