|
§ 2. Оператор Фредгольма
Пусть 2 — измеримое множество от-мерного евклидова
пространства; это множество может быть ограниченным или
неограниченным — безразлично. Пусть х и 5 — произвольные
точки множества 2. Измеримая функция этих точек К (х , с)
называется фредгольмозским ядром, если (мы ограничи
ваемся случаем вещественного ядра)
^ ^ К }(х , l)d x d \ < ^ °°.
(
1
)
8
8
Интегральный оператор
(К и )(х ) = ] К ( х , t)u (l)d s ,
(2)
с
где К (х , £) — фредгольмовское ядро, называется оператором
фредгольма.
Отметим один важный класс фредгольмовских ядер. Если
множество
2
имеет конечную лебегову меру (например, если
2
ограничено), а ядро К {х , £) ограничено, то оно — фред
гольмовское. Действительно, если | К {х, S) | ^ С = const, то
I /С
8
(* , 5) | dx d\ sg; С* (mes
2
)3f
e г
и неравенство (
1
) выполнено.
6
*
Т е о р е м а 7.2.1. Оператор Фредгольма определен на
всем пространстве
(
2
) и ограничен в нем", при этом
1
* | < Л $ к » ( * , № Л \ 2-.
(3)
(.2 S
)
Пусть и £ Ц (2). Докажем, что тогда интеграл (2) су
ществует при почти всех х £
2
и представляет собой функ
цию от х, квадратично суммируемую в 2. Имеем
№
,
6
) и (
6
)|
К * (*, ?) + ^-«
9
(
6
).
(4)
Интеграл (1) сходится; по теореме Фубини функция
/С*(х, ?) суммируема по £ почти при всех х £
2
; функция
м9(?) просто суммируема по S. Таким образом, правая часть
неравенства (4) суммируема по £ при почти всех х. Но тогда
этим же свойством обладает и левая часть неравенства (4),
и интеграл (
2
) существует при почти всех х
2
.
По неравенству Буняковского
| (Ки) (х ) |а < $ /С* (лг, S) d\ $ й* (S) d\ = || и |р $ К* (х,
6
) d\.
я
s
а
Проинтегрировав это по лг, получим неравенство
J #СиЦ*<|ир$ £ * * (* , \)dxd%,
& а
равносильное неравенству (3). Теорема доказана.
Т е о р е м а 7.2.2. Оператор Фредгольма вполне непре
рывен в L
9
(
2
).
Обозначим через 2 X 2 множество точек 2 т -мерного
евклидова пространства, определяемое следующим образом:
это множество состоит из точек (zx, zit
ztm), обладаю
щих тем свойством, что обе точки (zu гг, . . . , zm) и (zm+ц
гя+ч........Zim) принадлежат множеству 2. Если х
2 и
i
2
, то любую функцию от х и Е можно рассматривать
как функцию точки множества 2 X 2- Очевидно и обратное.
Неравенство (
1
) означает, что фредгольмовское ядро можно
рассматривать как элемент пространства Ы 2 X 2 ) .
Пространство Ла(
2
) сепарабельно; выберем в нем полную
счетную
ортонормированную
последовательность
<р*(*),
к — \, 2, ... Тогда последовательность
< р * М Ы * );
к>
п = 1' 2» •••»
( б)
ортонормирована в Ц
(2
X
2
); докажем, что в этом прост
ранстве последовательность (5) полна.
Допустим, что некоторая функция ю (дг, ?) ^ 1 > (2 Х 2 )
ортогональна ко всем функциям последовательности (5)
^ ш (•*, Е) (х ) «ря
0
) dx dz —
0
; k, п = \ ,
2
, ...
с г
Заменяя кратный интеграл повторным, получаем
^
(
jc
)
ч>(х, £)ср„( S ) j dx =
0
; k, п — \, 2, ...
(6 )
Зафиксируем номер п и положим
$ш(дг, S) <р„
0
) d.% = ш„ (лг).
Q
Функцию ш (х, S) можно рассматривать как фредгольмов-
ское ядро; из доказанной выше теоремы 7.2.1 вытекает, что
Равенство (
6
) принимает вид
J
(jc)
dx
=
0
, k —
1
, 2, ...
в
Но последовательность {cpfe (лг)} полна в Z.s (2), поэтому
(jc) = ^
ш
С*»
Тл (0
db
= 0, п = 1, 2 , . . .
в
Это равенство верно почти для всех х £ 2. Зафиксируем
такое дг. Тогда функция от
равная а>(х, S), ортогональна
к полной системе {?„(£ )}. Отсюда следует, что о>(дт, £) = 0
почти для всех S, и полнота системы (5) доказана.
Функцию К ( х, 5) можно разложить в ряд Фурье по си
стеме (5). Пусть этот ряд имеет вид
К (х , £) =
2
(хг) <р„ (5).
ft, Л
*=1
Положим теперь
N
К ,(х , £) =
2
к,
л=» 1
числю
N
возьмем столь большим, чтобы
или л >
N
со
ЭТО ВОЗМОЖНО,
потому
ЧТО
ряд
2 А%„ сходится.
А, л = I
Положим еще
К (лт, i) = К (х, S) — К , (х, I)
и обозначим через K t и K t соответственно фредгольмовские
операторы с ядрами K s (х, £) и К'г (х, £). Оператор К , ко
нечномерный, так как
N
( * . « ) ( * ) = $ 2 4*»?* (■*)?«(«) « ( * ) * =
2
k, п ~
1
N
N
= 2 л
(■*) $ <р» (* )ы ® ■
d* — 2
Тя)
(■*)>
A . n = l
2
я = 1
где
N
<М-*) = 2 Abn
k— I
Оценим норму оператора /Сё. Имеем
к;(лг, £ )=
^
л Лп<р* (•*) <М9-
£ > VV или
л
>
По
уравнению замкнутости
5 $ [к ; (х, $)]* 2
А\я < е»,
2 й
k " > N
или я > „V
и из формулы (3) вытекает, что ЦКё|<Се- Теперь ||/С— Х ,!< [
е; если положить е -> 0, то || К — К , | -► 0. В силу утверж
дения п. 5 § 1 фредгольмовский оператор К вполне непре
рывен.
Do'stlaringiz bilan baham: |
