И здан и е второе, стереотипное

часть альтернативы Фредгольма доказана.
Пусть теперь уравнение (1) имеет s линейно независимых 
решений <р,, <рг> . .., 
Тогда для оператора Т данное зна­
чение X характеристическое, ранга s. По теореме 3 Фред­
гольма X есть характеристическое значение оператора Т* 
того же ранга s. Пусть u>v ш3, 
ш5 — соответствующие 
линейно независимые собственные элементы. По теореме 4 
Фредгольма уравнение ( 2) неразрешимо, если верны не все 
равенства
(/> «*) = 0, 
k — \, 2, ..., s. 
(4)
Если все равенства (4) выполнены, то уравнение (2) имеет 
бесконечно много решений. Действительно, по теореме 4 
Фредгольма в этом случае уравнение (2) имеет хотя бы одно 
решение щ  общее решение и уравнения ( 2), как всегда, 
можно получить, прибавив к щ общее решение однородного 
уравнения ( 1)
5
« = «0 + 2  Ck'fk, 
(5)
к = 1
где с* — произвольные постоянные. Вторая часть альтерна­
тивы Фредгольма также полностью доказана.

---

§ 6. О непрерывности решений уравнения 
со слабой особенностью
Рассмотрим интегральное уравнение со слабой особен­
ностью
“ W - |
( 1)
где 0 sg: а 
т ,  | А (х, £) | ^ С = const и множество 
2
огра­
ничено. Если 
и 
выполнены условия ортогональ­
ности, предписанные теоремой 4 Фредгольма, то существует 
решение уравнения (1), также принадлежащее L t (
2 ).
В приложениях теории интегральных уравнений часто 
бывают интересны случаи непрерывности решений уравнения 
(1). Простой случай такого рода описывается следующей 
теоремой.
Т е о р е м а 8.6.1. Если 
2
— ограниченное зам кн утое 
м нож ество, а функции f ( x
) 
и А 
(дг, S) 
непрерывны в 
2 , 
т о  
любое решение уравнения ( 1), принадлежащее классу £а (2 ), 
непрерывно в 2 .
Выберем произвольно малое число е и непрерывную функ­
цию ij(f) вещественной переменной t, определенную при 
t ^ 0 и удовлетворяющую соотношениям
ч ( 0 = 1. 
о 
o < 7i ( o < i ,
у < * < 0 ,
tj(t) — 0,
Положим
к л * . t ) = A * w
\  
к ,(х .
При этом
ядро уравнения ( 1) представлено в виде суммы двух ядер, из 
которых первое имеет слабую особенность, но отлично от 
нуля лишь при г<^е, а второе просто непрерывно.
Пусть и (лг) — какое-либо решение уравнения (1), при­
чем и ^ Ii( 2 ) . Уравнение запишем в виде
и 
(лг) 
— (К 1u )(x ) = g (х), 
(2 )

---

где
(К1и){х) = \ К Л х ,$ )и $ )(£ ,
Q
* ( * ) = / ( * ) + $ & ( * , 6) и (6) Л