И здан и е второе, стереотипное

(
3
)
(4)
Функция g (x ) в 2 непрерывна — это легко вытекает из 
непрерывности функций /(лг) и Кг(х, 6) и из соотношения
| 
(KiU)
(дг,) — (К,и) 
(х^
| = j ^ [/Са (*i, I) 
— 
К % 
(x it 
?)] 
и 
(?) 
dt
й
[K i (x v «) - К , (х^ ?)]* 
fl и ||it (в).
Е
с л и
| A (x, 
E ) 
| ^ С, то 
и
| A (x, 
5) -rj ( г )
| 
С. Число 
e 
выбе­
рем столь малым, чтобы одновременно выполнялись два не­
равенства:
C J A J M L - L ^
i
m — а 
^ '
C I S . 1
< i .
(б)
(6)
т  — а
в неравенстве (б) Н  означает диаметр множества 2.
В силу формулы (3.10) гл. 7 из неравенства (5) следует,
что
Кг
< i ;
рассматривая соотношение ( 2) как интегральное уравнение 
с неизвестной к(лт) и данной g(x), видим, что к этому 
уравнению применима теорема 8.2.1 Банаха, и функцию и (х ) 
можно представить в виде ряда
« ( * ) = Ц (K tg )(x ),
(7)
п=0
сходящегося в метрике 
пространства L 3(Q). Докажем, что 
этот ряд сходится в 2 равномерно. Функция g (x ) ограни­
чена; пусть | g (x ) | ^ М =  const. Тогда
С А (х, 6) ч (г)
3 
*•
С 
А (х >
6) ч <
г>
.) 
Гл
ВЩг<4
I ( * * ) ( * ) ! =
■g(\)d%
■g$)d%
М С
di
г»’
к *

---

и по формуле (3.9) гл. 7
По индукции
1Г О ) И | < ж [ - Я А 1^ 1 р .
в силу неравенства (6) ряд (7) равномерно схОдится в 2. 
По теореме 7.4.1 члены этого ряда непрерывны, а тогда его 
сумма — функция и (х ) — также непрерывна.

---

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ 
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Г Л А В А 9
УРА ВН ЕН И Я И К Р А Е В Ы Е ЗАДАЧИ
§ 1. Дифференциальное выражение 
и дифференциальное уравнение
В самом 
общем случае дифференциальное уравнение 
в частных производных с т  независимыми переменными 
можно написать в виде
d
.. .. 
ди 
ди 
д3и 
dhu\ 
п 
. ..  
( 11 *........ Х т ' 
дхх ’ •••’ дхт ’ 
............
наивысший порядок k производной от неизвестной функции, 
входящей в дифференциальное уравнение, называется его 
порядком. Нетрудно написать также общий вид системы 
дифференциальных уравнений в частных производных.
В этой книге рассматриваются почти исключительно ли­
нейные уравнения в частны х производных второго порядка. 
Как и в предшествующих разделах, совокупность значений пере­
менных (дг1( X *,. . . , х т ) будем рассматривать как точку х т- мер­
ного евклидова пространстваЕ т  с координатами дг^ х& . . . , х т .
В уравнениях, связанных с задачами физики, независимые 
переменные часто суть время и пространственные коорди­
наты; для их обозначения мы иногда будем пользоваться 
буквами t, х, у, z.
Линейное уравнение второго порядка с неизвестной функ­
цией и и с независимыми переменными x v 
..., х т  в самом 
общем случае имеет вид
2 А» М ш к + 2 А> м ш , + А-(х )“ = т
'
(2)
/.* = I 
*=i
где A Jk, Ак, Л0, / суть заданные функции от х.

---

Уравнение (2) на самом деле содержит при / Ф k не от-
Выражение 
AkJ можно разбить на два слагаемых ка­
ким угодно способом, и мы всегда будем считать, что
так что матрица коэффициентов при вторых производных 
(«матрица старших коэффициентов») оказывается симметрич­
ной. Эта матрица в дальнейшем будет играть весьма важную 
роль.
Левую часть уравнения (2) будем называть дифферен­
циальным выражением второго порядка.
Функция f(x ), стоящая в правой части уравнения (2), 
называется его свободным членом. Как обычно, различают 
уравнения однородные, 
когда f (х ) = О, и неоднородные, 
когда f (x ) =£0.
Рассмотрим некоторые примеры.
1. Уравнение колебаний струны
Здесь т = 2; свободный член f ( x , t )  пропорционален внеш­
ней силе, действующей в точке х  струны в момент времени t. 
Матрица старших коэффициентов имеет вид
В более сложном случае, когда струна колеблется в среде 
с сопротивлением, пропорциональным скорости, уравнение 
колебаний струны записывается так:
дельные слагаемые Ajk
»Щ д Гк и 
>
а их сумму
А к/ (“*0 —
(л).
(
3
)
(4)
(5)
д*и 
*д*и , .ди
Ж* ~ а дх*~^Н ~dt ^ ^ Х> )’ 
ft = const 
( 6)
Матрица старших коэффициентов по-прежнему имеет вид (5).
2. Уравнение колебаний мембраны 
д*и 
<
>
 (д*и . д*и

---