И здан и е второе, стереотипное

(X )
=
(/ С и ) 
(X)
=
J
я 
( 6 ) Л
(2)
Я
Воспользовавшись неравенствам» (3.1) и (3.7), получим
I *(■ *)!< Сс \ fa ^ Cc|^
v n- = const. 
(3)
I 
“
I 
Последнее неравенство (3) показывает, что множество К (A f)
| 
равномерно ограничено. Оценим разность v (х  -f- Л) — v (лг). 
Имеем
! 
-рйпИ «< 6>Л <
4>
Точку х  вырежем шаром 
радиу­
са 28, где 
8
— произвольное пока по­
ложительное число. Часть множества 2, 
Рис. 
8
. 
расположенную вне этого шара, обо­
значим через 2,. Потребуем, чтобы было 
тогда точ­
ка х  -f- h находится в шаре Ш и на расстоянии, не мень­
шем 
8
, от поверхности шара (рис. 
8
),
Из формулы (4) вытекает
, 
П /
1
Ж
9 
*(-*,£) b e ,
5
\ 
^ Л IJДС-НЛ — €|« 
J*-6M

---

По формуле (3.9)
С 
dZ 
— ls .K 2*)CT-‘
J |x — 5
1
* ~
m - a  
' W
dZ
.1
|Jf — 5|a 
„ .
Ш и
r <
28
Если S (= ZZ/SS, то I x  — 11 ^ 28 и
|
jc
+ A — 5 | < | * — S| + |ft|< 3 8 .
Это значит, что точка S лежит внутри шара радиуса 38 
с центром в точке x-\-h (рис. 
8
). Иначе говоря, шар Ш гь 
целиком лежит внутри шара rj 
3S, r t = | х  -{- А — 51. От­
сюда
С 
<*£ 
Г 
dt
1 5 ,1 (за)"»-"
J | J C + A — e l ' 4 '
J r
m — a
* 
I ' J
< 3s 1
Зададим число e^>0 и выберем 
8
столь малым, чтобы 
(2т ~а-\-Зт ~а)
| S, | Ът ~а ^  с 
/л — я 
\
2
’
Тогда из соотношений (5) — (7) вытекает, что
Si
(
8
)
Число 
8
зафиксируем. В области Qj выполняется нера­
венство | х  — Е | ^
8
, поэтому функция у -^~--Q - равномерно
\ х 
с I
непрерывна по совокупности точек х  и Е. Можно поэтому 
выбрать столь малое А0, чтобы при | А | 
А
0
было
\ A ( x + h ,
£) 
А ( х ,
£)
||лг4-Л —
6
|« 
I * —
Тогда по формуле (
8
)
сК.
<
2с I Q I
|t>C* + A ) - t, ( * ) | < | + 4?! M < e, 
| А ] < А0.
Число А
0
зависит только от s; оно не зависит ни от точки х, 
ни от функции и. Отсюда следует, что множество К (М ) 
равностепенно непрерывно, и теорема доказана.
Теорема 7.4.1 очевидным образом распространяется на 
тот случай, когда 
2
есть гладкая от-мерная поверхность 
в евклидовом пространстве т.-
1
- 
1
измерений, a d% означает 
элемент площади поверхности.

---

В доказательстве теоремы 7.4.1 была использована на са­
мом деле не непрерывность функции и (дг), а только ее огра­
ниченность. Поэтому справедливо следующее утверждение: 
Если 2 — ограниченное зам кнутое м нож ество, а функ­
ция А (х, S) непрерывна в 2, т о оператор со слабой осо­
бенностью
т
 (х ) = j
К (5) dk = v  (.*)
переводит ограниченную функцию и (х ) в непрерывную функ­
цию v (х).
Пусть по-прежнему 2 — ограниченное замкнутое мно­
жество и пусть К (х , S )— непрерывное ядро. Его можно 
рассматривать как ядро со слабой особенностью, у которого 
а = 0. А тогда из теоремы 7.4.1 вытекает такое следствие.
С л е д с т в и е 7.4.1. Если 2 — ограниченное зам кнутое 
м нож ество и ядро К (х , £) непрерывно в 
2
, т о фредголь- 
мовский оператор К , определяемый формулой
(Ки ) (х )= ^ \ К (х , S) и (
6
) Л ,
а
вполне непрерывен в С (2).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что при 
а < -у. оператор со слабой особенностью 
есть также и фредгольмовский оператор в 
L t (Q).
2.
Пусть 
1 < оо 
и — 
4- 1=1. 
Пусть еще 
ар' <и. 
Дока-
Р
Р'
зать, что оператор со слабой особенностью вполне непрерывен 
как оператор из 
Lp (Q) в C(Q).
3. Известно, что так называемый сингулярный интегральный 
оператор S, где
(й ,(д
0
=
l i mj I  £ & . « +
5
* & « } ,
- 1
1 - 1
x + t 
>
ограничен в I , (— 1, 1). Пусть функция 
а (х) непрерывна на сег­
менте [— 1, 1]. Доказать, что оператор 
Т, где
1
- 1
вполне непрерывен в £а (— 1, 1).

---

ТЕО РИЯ ФРЕДГОЛЬМА 
§ 1. Уравнение с в. н. о. Интегральные уравнения
Рассмотрим уравнение
и — \T u — f, 
(1)
где Т — в. н. о., действующий в банаховом пространстве X, 
/ — данный, а и — искомый элемент этого пространства, 
X — числовой параметр. Сопряженным к уравнению (
1
) назы­
вается уравнение
v — \T*v = g, 
(2)
в котором Т* — в. н. о., сопряженный с Т, g и v — данный 
и искомый элементы пространства X *, сопряженного с X. 
Если / (соответственно g) отлично от нулевого элемента, то 
уравнение (
1
) (соответственно уравнение (
2
)) называется 
неоднородным, в противном случае получаются однородные 
уравнения
и — Х7н = 0 
(3)
и
г> — Х7*г» = 0. 
(4)
Значения X, при которых существуют нетривиальные (т. е. 
отличные от нулевого элемента) решения уравнения (3), на­
зываются характеристическими числами оператора Т, а сами 
нетривиальные решения — его собственными элементами, 
со ответствую щ и м и данному характеристическому числу. 
Число линейно независимых собственных элементов, отвечающих 
данному характеристическому числу, называется рангом этого 
характеристического числа. Нехарактеристические значения 
называются правильными.

---

Для уравнения (1) справедливы следующие четыре тео­
ремы, известные под названием теорем Фредгольма.
Т е о р е м а 8.1.1 ( т е о р е м а 1 Ф р е д г о л ь м а ) . Каждое 
характеристическое число уравнения ( 1) им еет конечный 
ранг.
Т е о р е м а 8.1.2 ( т е о р е м а 2 Ф р е д г о л ь м а ) . Уравне­
ние ( 1) им еет либо конечное, либо счетное м н о ж ество ха­
рактеристических чисел; если э т о м нож ество счетное, т о  
оно и м еет единственную предельную т о ч к у на бесконеч­
ности.
Т е о р е м а 8.1.3( т е о р е м а 3 Ф р е д г о л ь м а ) Если X— 
характеристическое число уравнения ( 1), т о  X е с т ь харак­
теристическое число уравнения (2), и притом то го ж е ранга.
Т е о р е м а 8.1.4 ( т е о р е м а 4 Ф р е д г о л ь м а ) . Д ля 
того чтобы уравнение ( 1) имело решение, необходимо 
и достаточно, чтобы свободный член / этого уравнения 
был ортогонален ко всем решениям сопряженного одно­
родного уравнения (4).
Ортогональность здесь понимается в следующем смысле. 
Пусть при данном X уравнение (4) имеет некоторое решение v. 
Это решение принадлежит пространству 
X * и является, 
следовательно, функционалом в пространстве X . Говоря, 
что / ортогонально к v, мы понимаем под этим, что
(V, / ) = 0, 
(5)
где (v. / ) есть значение функционала v на элементе /.
Наиболее важными видами уравнений с в. н. о. являются 
уравнения Фредгольма к уравнения со слабой особенностью', 
оба эти вида мы будем рассматривать как уравнения в про­
странстве Х = Ц  (2); в силу известной теоремы Риса тогда 
и Х * ~ Ц ( 2). Уравнение вида
и (*)- Х $ А :(л г, 5)и (*)<«==/(*) 
(6)
я
называется интегральным уравнением Фредгольма, если 
К (х , 5) — фредгольмовское ядро, a f ( x )  и и (х ) принадле­
жат пространству*) 14(2 ).
*) Можно рассматривать уравнения Фредгольма и в некоторых 
других функциональных пространствах. 
Мы не будем 
останавли­
ваться на этом.

---

Если К (х, 5) — ядро со слабой особенностью (при этом 
множество 2 необходимо ограничено), то уравнение ( 6) на­
зывается интегральным уравнением со слабой особенностью.
Уравнение, сопряженное с уравнением (6), в пространстве 
1* (й ) имеет вид
г/(л:) — Х$АГ(£, л;)г>(£)<К = £(.*). 
(7)
е
Чтобы доказать это, достаточно установить, что оператор К*> 
сопряженный с оператором Фредгольма К , где
(К и )(х ) = \ К (х , 6)и (« )Л , 
( 8)
и
определяется формулой
(K * v )(х ) = ] К ч С * )г » (S) d t  
(9)
2
Линейный и ограниченный функционал в 1а (2 ) можно в силу 
теоремы Риса отождествить с некоторым элементом про­
странства Z.s (2). Пусть v (x ) — такой элемент. Тогда
(K *v, и) — (v, Ки) = $ $ К (-*:• Е) и (:) v (х) dx d\ —
9 2
~ \ и (^) 
К  
О v С*) 
db = \u (дг) 
К  (с, х ) v  (£) eftj dx.
Отсюда видно, что
(K * v ) (х ) =  $ Щ Г Г ) г» (fc) d t
а
что и требовалось доказать.
В §§ 2— 4 настоящей главы будут даны доказательства 
теорем Фредгольма для уравнений с в. н. о. в гильбертовом 
пространстве. Тем самым указанные теоремы будут доказаны 
для уравнений Фредгольма и уравнений со слабой особен­
ностью. В §§ 5 и 6 будет дан ответ на один специальный 
вопрос — об условиях, при которых суммируемое с квадра­
том решение уравнения со слабой особенностью будет так­
же и непрерывным.

---