I общие понятия численного решения одномерного уравнения гиперболического типа

Актуальность моей курсовой работы: при решении многих сложных вопросов в использовании этого алгоритма есть немалая легкость. В данной работе приведены преимущества использования метода характеристик.
Цель моей курсовой работы: проработка уравнений методом характеристик для уравнений гиперболического типа, выделение их преимуществ на примерах.
Задача моей курсовой работы: метод характеристик работа с уравнениями гиперболического типа, выделение их преимуществ на примерах. Показать возможности метода.
Научное предположение моей курсовой работы: метод характеристик для гиперболических уравнений и объяснение преимуществ его использования на примерах.
Методы нашей курсовой работы: как решить методом характеристик для гиперболических уравнений, возникающие ошибки и способы ее устранения. Перечисляются цели и способы использования данного метода, преимущества, удобство его использования.
Анализ литературы, использованной в курсовой работе: в использованной литературе, представленной в курсовой работе, тема курсовой работы освещена в виде отдельной главы, на основе изучения которой широко используется освещение темы в курсовой работе.
Содержание и объем курсовой работы: курсовая состоит из вводной части, 2 глав, краткого заключения, списка литературы и приложений, изложенных на 50 страницах.

I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

1.1. Виды дифференциальных уравнений с частными производными

Во многих физических процессах анализ физического поля приводит к решению дифференциальных уравнений с частными производными. На практике возможность решения подобных вопросов аналитическим методом встречается крайне редко. Это связано со сложностью области анализа и свойством не слипаться.
Тем не менее, решение таких вопросов может быть количественно проанализировано с помощью компьютера. Для этого сначала определяется тип математико - физических уравнений, представляющих область исследования.
Выбор метода численного счета зависит от типа системы уравнений, по которым производится расчет. Для двумерных задач уравнение второго порядка с частными производными в общем случае записывается следующим образом:

При этом - произвольная неизвестная функция; все коэффициенты от (координаты) и (время) до условных переменных и, возможно, искомой функции и ее производных первого порядка из функции (в последнем случае уравнение будет нелинейным или квазичастичным) или могут быть неизменными.
В линейном случае это уравнение

в зависимости от жеста дискриминанта он классифицируется на гиперболический, параболический и эллиптический типы следующим образом:

• 
  -уравнениегиперболическоготипа;
  
• 
  -уравнениепараболическоготипа;
  
• 
  -уравнениеэллиптическоготипа.
  

Примеры уравнений, часто используемых на практике:

• 
  Уравнение движения гиперболического типа ;
  
• 
  Это волновое уравнение, выражающее процесс свободных колебаний среды, имеет гиперболический тип , где - функция, выражающая волновой процесс; , , - пространственные координаты; - скорость распространения волны в данной среде; - время;
  
• 
  Уравнение Пуассона эллиптического типа;
  
• 
  Уравнение диффузии параболического типа.
  

Из них остановимся немного на уравнениях гиперболического типа.Уравнения гиперболического типа возникают во всех процессах, в которых информация распространяется с предельной скоростью, например,

• 
  простейшим уравнением гиперболического типа является уравнение смещения
  
• 
  распространенным уравнением гиперболического типа является волновое уравнение ;
  
• 
  наиболее полезным уравнением гиперболического типа является вязкое уравнение Бюргерса (уравнение Хопфа) .
  
• 
  Еще примеры уравнений гиперболического типа:
  
• 
  Ностальгические уравнения Эйлера;
  
• 
  стационарные уравнения Эйлера для быстрого потока от звука;
  
• 
  уравнение мелководья;
  
• 
  уравнение идеальной магнитной гидродинамики;
  
• 
  уравнение теории упругости;
  
• 
  уравнения движения пластин и оболочек.
  

Характеристики уравнения. Поверхности характеристик для трехмерных задач или линии характеристик для двумерных задач обычно совпадают с конусом Мax. Давайте посмотрим на простой пример. Это

возьмем одномерное волновое уравнение (уравнение колебания струны). Общее решение таково:

При этом характеристика выражает миграцию неизменяемых фазовых переходов (рис.1.1). Проще говоря, характеристики находятся на плоскости

это кривые, которые определяются уравнением.

Рисунок 1.1. Характеристики для одномерных волновых уравнений.
Если решение дифференциальное, то это характеристики
длина будет неизменной.
Если решение задачи Коши является дифференциальным, то оно представляется в виде:
.
Это проверяется непосредственно вычислением их производных и постановкой их в уравнение: