I общие понятия численного решения одномерного уравнения гиперболического типа

2.1. Уравнения характеристик системы квазигиперболических дифференциальных уравнений.

Как известно, дифференциальные уравнения с любыми частными производными в результате выполнения подстановок можно привести к системе дифференциальных уравнений первого порядка с равными ему степенями. Во многом такие системы имеют определенные преимущества как в теоретическом изучении, так и в решении задач.
Чтобы запись не была сложной и основная идея была понятна, рассмотрим систему дифференциальных уравнений с двумя частными производными первого порядка:
(2.1)
Здесь
, ,
функции , , , непрерывные дифференциальные функции в области одного изменения переменных являются функциями. Такие системы называются квазичастицами. Если , только коэффициенты и в зависимости от, Если, то система (2.1) называется полулинейной. Если, кроме, и сидеть и если линейная функция относительно, то система (2.1) называется линейной системой.
Квазичастицы часто встречаются в вопросах газодинамики.
Давайте предположим, сфера пусть лежит на равнине и , пусть функция (1) является решением непрерывного дифференциального уравнения системы на сфере и имеет гладкую кривую, не имеющую точек Карри, расположенных на сфере. Мы здесь и согласно приведенному выше значению решения (2.1), используя систему , , , рассмотрим вопрос об определении значения частных производных.
Прежде всего, из системы (2.1) мы видим, что кривая, на , , , значения частных производных
(2.2)
отношения и на кривой
, (2.3)
удовлетворяет дифференциальным соотношениям. Итак, , , , у нас будет четыре линейных уравнения первого порядка для определения SAR.
Теперь на скажим как, (2.3)
, (2.4)
записываем в виде и (3), (4) из отношений и в результате мы теряем и формируем следующую систему относительно:
(2.5)
Если из этой системы и если можно найти, то из (2.4) и найдем. Мы на мы предполагали, что в противном случае (2.4) вместо
, (2.6)
получаем отношения и вместо (2.5) (2.7)
у нас будет система. Определители систем (2.5) и (2.7) могут отличаться только по жесту. Определительсистемы (2.5) определимчерез: (2.8)

1. 
   Здесь мы видим два случая: детерминант он не становится нулевым ни в одной точке кривой;
   
2. 
   детерминант кривая, на которой ровно ноль.
   
3. 
   В первом случае (2.5) система имеет единственное решение относительно , что означает, что в каждой точке кривой можно найти значения и частных производных этих функций по системе (2.1). Поскольку в последнем случае (2.1) мы предполагаем, что система имеет решение, система (2.5) должна быть смежной. Но так как (2.5) система будет иметь бесконечно много решений. Таким образом и во втором случае частные производные решений по их значениям над и не могут быть однозначно определены.полученное по этой кривой значение решения кривой в совокупности называется характеристической кривой системы в пространстве (2.1). Это кривая, по которой (2.1) решение системы может быть разветвленным. характеристической будет проекция характеристической кривой на плоскость.
   

попытки характеристики тангенс угла, образованного осью удовлетворяет следующему уравнению:
(2.9)
Назначенный по сути, это квадратное уравнение будет относительно. Если корни этого уравнения действительны и различны, то система (2.1) точка называется гиперболической системой. Если это свойство если она уместна в каждой точке какой-либо области пространства, то говорят, что система (2.1) образует гиперболическую систему в этой области. Мы смотрим только на гиперболические системы.
Очевидно, что (2.1) является данностью гиперболической системы , решение определено в каждой точке сферы уравнение (2.9) имеет два действительных различных решения, определяющих два направления попыток к характеристикам, соответствующим заданному решению. Корни уравнения (2.9), соответствующие заданному решению и обозначим через (они будут функциями и), в результате чего получим следующую систему из двух уравнений:
,
Каждое из этих уравнений образует семейство одноапараметрических кривых, определяющих область - интегральные линии этого уравнения.из каждой точки сферы проходит только одна кривая семейства. Если рассматривать уравнение (2.9) как дифференциальное уравнение второго порядка первого порядка, то для данного решения системы (2.1) у нас будет два семейства одноапараметрических кривых , или семейство характеристик. из каждой точки сферы проходит только одна характеристика каждой семьи. Если (2.1) система строго квазичастица, то ее характеристика строго зависит от выбора решения системы, т. е. ее можно определить только тогда, когда известно решение. Для линейной системы коэффициенты , не зависящие от L, и, следовательно, характеристики из уравнения (2.9), не зависящие от L, могут быть определены без.
Это решение является непрерывным в поле, но имеет производные прерывания. Из вышесказанного делаем следующий вывод: уравнения направлений характеристик состоят из:
, (2.11)
Здесь и
(2.12)
корни уравнения. Дифференциальные отношения по характеристикам (2.13)
или
` (2.14)
состоит из, состоит из, состоит из, здесь , , , , (2.15)
Следует отметить, что если система (2.1) является линейной или полулинейной, то , коэффициенты , зависит от, если нет, то и также в зависимости от, например, (2.11) система будет выглядеть следующим образом:
,

2.1-рис.
Такие характеристики можно найти на плоскости , зависящей от решения, а не от. В случае квазичастиц характеристики зависят от решения, т. с построением типа характеристики необходимо провести одновременное нахождение значений этого типа в узлах и решений.