I общие понятия численного решения одномерного уравнения гиперболического типа

1.4. Различные способы численного решения одномерного уравнения гиперболического типа.

Дифференциальная граничная проблема. Ниже представлены методы численного решения одномерных дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа второго порядка. Для этого рассматривается следующий предельный вопрос (вопрос о малых колебаниях тонкой струны:
, , ,
, , , (1.1)
, ,
Анализируются следующие случаи:
1) приемы построения схем вычитания для решения граничной задачи;
2) задачи аппроксимации начальных и граничных условий;
3) последовательность расчетов.
Разнообразная сфера. Для рассматриваемого пограничного вопроса:
, , ,
, , ,
где - компонент функции вида, принадлежащий узлу; ; – шаг по времени t, ; - шаг по координате, ; .
Пример вычитания (схема вычитания). Для рассматриваемой дифференциальной задачи
одна из схем вычитания, которая может быть применена, заключается в следующем:

, ;
, , ;
,
Шаблон схемы вычитания.
Структура, заданная для рассматриваемой схемы вычитания и связывающая значение решения в va по четырем точкам вида, называется шаблоном схемы вычитания рассматриваемый (рис.1.3).

Рисунок 1.3. Шаблон схемы вычитания.
Ошибка аппроксимации (дисперсии).
Чтобы получить представление о значении дисперсии, необходимо сначала дать базовую точку и представить значение, входящее в разложение выражения (или ) в ряд Тейлора относительно этой точки. Например, для рассмотренной выше схемы вычитания с выбором точки в качестве базового дефекта это

получаем равенство.
Примечание. Порядок аппроксимации схемы «крест» («гребень») для волнового уравнения определяется порядком аппроксимации начальных условий. Эта схема может быть меньше второго порядка по обоим переменным для внутренних точек.
Спектральный признак превосходства. Теоретические данные о преобладании схемы вычитания можно получить более полно из литературы [1,2,5].
Мы ищем решение проблемы с дисконтированием акций следующим образом:

Поставив это решение в уравнение вычитания, получим:

или

Как видим, умножение корней этого квадратного уравнения равно 1. Если этот дискриминант квадратного уравнения

если отрицательный, то
,
корни взаимно комплементарны, а их модуль равен единице.
Чтобы схема вычитания была доминирующей, необходимо, чтобы это неравенство было выполнено, т. е. оно должно быть выбрано таким образом, чтобы было выполнено следующее неравенство:
.
Методы построения схемы вычитания для заданной (1.1) предельной задачи.
Прямая аппроксимация заданной (1.1) граничной задачи в поле вида. Сетевая область выглядит следующим образом:
, , , ; ;
- шаг по времени; - шаг по координате;
Ищем тип функции следующим образом:
, , ,
Где – компонент функции типа принадлежащий узлу.
Схема» крест «(»крест"). Уравнение вычитания для внутренних точек вида записывается следующим образом:
,
, (1.2)
Аппроксимация граничных условий выглядит следующим образом:
, ,
Аппроксимация начальных условий выглядит следующим образом:
, ,
Это уравнение (1.2)аппроксимирует начальное дифференциальное уравнение во внутренних точках с точностью до второго порядка. Но вот аппроксимация второго начального условия имеет точность первого порядка. Поэтому говорят, что эта схема имеет точность первого порядка (рис.1.3).
Условием превосходства численного решения является число Куранта:

Схема раскрытия. Шаблон этой схемы выглядит следующим образом (рис.1.4). Уравнениевычитаниядлявнутреннихточеквидазаписываетсяследующимобразом:
,
; (1.3)

Рисунок 1.4. Шаблон пятизначной схемы раскрытия.
Аппроксимация начальных и граничных условий такая же, как и в схеме «крест» («Cross»). Таким образом, данная схема состоит из уравнения (1.3) и начальных и граничных условий схемы «крест» («Cross»). Эта схема имеет точность первого порядка, но она абсолютно ненадежна. Его нельзя использовать для решения конкретных практических задач. Здесь он приводится в качестве примера схемы абсолютного ноустивного вычитания.
Схема 1. Шаблон этой схемы выглядит следующим образом (рис.1.5).
Уравнение вычитания для внутренних точек вида записывается следующим образом:
,
; (1.4)
Аппроксимация начальных и граничных условий такая же, как и в схеме «крест» («Cross»). Таким образом, данная схема состоит из уравнения (1.4) и начальных и граничных условий схемы «крест» («Cross»). Эта схема имеет точность первого порядка, которая является абсолютной доминантой. При решении конкретных практических задач его практически не используют, так как вычисления не дают хорошего результата.

Рисунок 1.5. Шаблон пятизначной непрозрачной схемы.
Схема 2. Шаблон этой схемы выглядит следующим образом (рис.1.5).
Уравнение вычитания для внутренних точек вида записывается следующим образом:
,
; (1.5)
Аппроксимация начальных и граничных условий такая же, как и в схеме «крест» («Cross»). Таким образом, данная схема состоит из уравнения (1.5) и начальных и граничных условий схемы «крест» («Cross»).
Эта схема имеет точность первого порядка (из-за грубой аппроксимации начальных условий), которая является абсолютной доминантой.

Рисунок 1.6. Шаблон схемы с прозрачной сеткой.
Методы аппроксимации начальных условий для заданной (1.1) предельной задачи.
В приведенном выше комментарии к схеме» крест «(»гребень") была приведена простая аппроксимация этого начального условия, при которой погрешность представляет собой, для внутренних точек, ошибку аппроксимации некоторых из приведенных выше схем, и относительно второго порядка.
Используя здесь ошибку аппроксимации начального условия с точностью до второго порядка, можно также привести используемую схему к точности второго порядка.
Значение решения для точек первого слоя времени можно выразить в виде распространения на ряд Тейлора по степеням:

Заметим, что из дифференциального уравнения исходим:
.
Итак,

Отсюда получаем следующую формулу вычитания для первого слоя времени:
.
Запишем последнее выражение следующим образом, ,
, очевидно, что это аппроксимирует это условие с точностью до второго порядка.
Понятия о последовательности вычислений.
» Крест «(»Cross") находится в начале и конце отношений, исключенных для начальных условий схемы. Из граничных условий находят значения и значения функции вида, которых недостаточно для первого слоя. После этогодля всех типовношения (1.2) находят остальные значения функциирезультате для наглядной схемы необходимо будетрешить систему линейных алгебраических уравнений с тремя диагональными матрицами.
Приведение заданной граничной задачи (1.1) к задаче, написанной для двух систем уравнений первого порядка.
Примечание. Граничная задача, приведенная ниже, может быть искусственно приведена к другой, более удобной задаче, такой как задача, поставленная для уравнения акустики. Уравнение акустики похоже на уравнение движения.
Эта проблема (1) эквивалентна следующей проблеме:
, ,
вот функция, стоящая в правой части первого уравнения: ,
, , , (1.6)
Это можно объяснить следующим образом: мы выбираем новую функцию таким образом, что мы можем использовать ее с условием, что функция

из уравнения получаем. Тогда волновое уравнение записывается как:
Если мы интегрируем последнее отношение по t, мы получаем:
После того, как мы выполнили Интеграл,

Т.е

здесь

Таким образом, задача (1.1) была приведена к задаче, состоящей из двух систем дифференциальных уравнений первого порядка, таких как (1.6).
Примечание: дифференциальные уравнения (1.6) можно записать в виде: , ,
здесь – ИнвариантыРимана.
Особенностью этих последних уравнений является то, что в каждом отдельно дифференцируется только одна функция ( или ). Заметим, что запись исходной (1.6) системы через инвариантные функции является признаком гиперболичности этой системы.
Как видим, рассматриваемая задача сводится к следующему вопросу, написанному для инвариантов: , , , ,
, , (1.7)
,
Уравнение для производных инвариантов-это само известное нам уравнение переноса. Следовательно, схемы вычитания могут быть применены и к уравнению смещения.
Таким образом, вместо исходной задачи (1.1) можно решить задачу (1.6) или задачу (1.7) для инвариантов. В последнем случае ищется функция и через нее вычисляется формула в нужных точках.
(1.6) варианты схемы вычитания для примера.
Примечание. Как известно, нераскрытые схемы практически всегда доминируют на практике. Однако применительно к задаче (1.6) их применение представляет определенные трудности, так как на следующем по времени слое требуется решить систему линейных уравнений (если говорить обобщенно, то систему с тремя диагональными матрицами).
Точная предельная задача и ее аналитическое решение могут быть использованы для уточнения нелинейных вычислений. При этом можно будет ссылаться на математические пакеты (например, Mathcad или Maple).
Например, этот
, ,
точное аналитическое решение граничной задачи выглядит следующим образом:

Таким образом, можно проанализировать следующие схемы вычитания на аппроксимацию и на доминирование.

1) » Крест«насхеме;	3) прозрачная схема с шаблоном ниже
2) прозрачная схема с шаблоном ниже	4) схема раскрытия с шаблоном ниже

1.5. Численное аппроксимация начального и краевого условий.