I общие понятия численного решения одномерного уравнения гиперболического типа

Физические процессы. В результате математического моделирования различных физико-механических задач частные производные сводятся к дифференциальным уравнениям. Эти уравнения и система уравнений часто пишутся как одинаковые или близкие друг к другу. В основном в классических вопросах такие утверждения пишутся в виде законов сохранения. В основе этих утверждений в основном лежит следующее: масса не возникает и не исчезает; импульс, импульсный момент и энергия сохраняются. Уравнения с частными производными, возникающие в результате применения этих идей, называются консервативными уравнениями.
Уравнение частных производных связывает точки в пространстве, времени и простые линейные свойства, которые могут быть сформулированы при исследовании волнового состояния в пространстве и времени частным производным уравнением или системой уравнений. Многие физические процессы (например, распространение волны, перемещение, диффузия, потенциал) могут быть представлены очень простыми уравнениями частных производных.
Приведем примеры.
Дисперсионное отношение. функция может быть выбрана как функция - пространственной переменной -временной переменной и может рассматриваться как удовлетворяющая уравнению частных производных.Это

рассмотрим результат постановки функции (изолированной волны или Фурье-моды в пространстве и времени)в интересующее нас уравнение частных производных, в котором - частота волны; - волновое число, связанное с длиной волны, ; - длина волны. В результате этого

получаем дисперсионное отношение.
Для физического процесса, описываемого уравнением с заданной частной производной, дисперсионное отношение связывает характерную временную шкалу с частотой и определенной длиной волны. Если частота истинна, то описывается колебательный или волновой процесс, а если наоборот-отрицательна, то описывается восходящий или нисходящий модус.
При численном решении задачи, заданной начальными условиями, нас интересует главным образом зависимость временных масштабов задачи для различных физических процессов от их длины волны. Эта информация находится в дисперсионной реакции.
Распространение волны. Волны и волновые движения встречаются во многих физико-механических вопросах. Рассмотрим простейший случай распространения волны в натянутой струне, где - миграция точек Тора.

пусть выполняется волновое уравнение, в котором - параметр, ; - натяжение струны; - количество массы, соответствующее единице длины. Если - обозначает длину струны, то мы можем найти характерное время как время прохождения длинноволновой волны:

Выбрав более сложное приближение, Тор

уравнение должно удовлетворять. Это уравнение называется дисперсионным отношением уравнения с частными производными.
В результате мы связываем характерную временную шкалу с волной следующим образом:
.