Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Теорема-4. Агар сонли F майдон устидаги n ўлчамли чизиқли фазода аниқланган чизиқли операторнинг характеристик кўпҳади n та турли илдизга эга бўлса, бу оператор диагоналлашувчидир.
Исбот. Дастлаб ихтиёрий чизиқли фазода чизиқли операторнинг турли хос сонларига мос келувчи хос векторларининг чизиқли эркли эканлигини кўрсатамиз.
Ушбу турли хос сонларга мос келувчи хос векторлар бўлсин: , бу ерда учун .
Бу тизимнинг чизиқли эрклилигини k бўйича математик индукция усулида исботлаймиз. Тасдиқ да (ҳар қандай хос вектор учун) бўлгани учун аён. Тасдиқ ( ) та хос векторлар учун ўринли бўлсин деб фараз қиламиз.
Энди векторлар учун тенглик ўринли бўлсин. Бу тенгликдан

тенгликни оламиз. Ушбу тенгликдан охирги тенгликни айириб, тенгликни ҳосил қиламиз. Индукциянинг фаразига кўра чизиқли эркли. Бунга кўра охирги тенгликдан тенгликларни оламиз. Хос сонлар турли бўлгани учун . Бундан ва охирги тенгликлардан , ( ) тенгликларни ҳосил қиламиз. Булардан ва тенгликдан тенглик келиб чиқади. Хос вектор бўлгани учун бўлади. Демак, . Бу векторларнинг чизиқли эркли эканлигини кўрсатади.
Энди сонлар берилган чизиқли операторнинг хос сонлари, эса бу хос сонларга мос хос векторлари бўлсин. У ҳолда исботланганга кўра векторлар тизими чизиқли эркли бўлиб, бу фазонинг базиси бўлади. Теорема-1 га асосан, f чизиқли операторнинг бу базисдаги матрицаси диогонал кўринишга эга. Теорема-4 исботланди.
сони - чизиқли операторнинг хос қиймати бўлсин.
Таъриф-4. тенгликни қаноатлантирувчи чизиқли фазонинг векторлар тўплами - чизиқли операторнинг хос қисм фазоси дейилади ва деб белгилананади.
Таърифга асосан . Шунинг учун қисм фазо бўлади.