Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Таъриф-2. Евклид фазосида х векторнинг узунлиги деб
(4)
сонга айтилади. х векторнинг узунлигини билан белгилаймиз.
Векторлар орасидаги бурчак, вектонинг узунлиги ҳамда векторларнинг скаляр кўпайтмалари одатдаги муносабатлар билан боғланган: векторларнинг скаляр кўпайтмаси уларнинг узунликлари кўпайтмаси билан улар орасидаги бурчак косинуси кўпайтмасига тенг. Аммо бу жумладаги «векторлар орасидаги бурчак» сўзларидан ташқари ҳамма сўзларнинг маъноси бизга тушунарли бўлиши учун қуйидаги таърифни берамиз.
Таъриф-3. х ва у векторлар орасидаги бурчак деб

сонга айтамиз, яъни
(5)
деб қабул қиламиз. Агар х ва у векторлар орасидаги бурчак га тенг бўлса, яъни
(х,у)=0
бўлса, х ва у векторлар ортогонал векторлар дейилади.
Киритилган тушунчалар ёрдами билан элементар геометриянинг қатор теоремаларини евклид фазосига кўчириш мумкин.
Бир мисол кўриб чиқайлик. Агар х ва у векторлар ортогонал векторлар бўлса, у ҳолда х+у векторни томонлари х ва у бўлган тўғрибурчак деб ҳисоблаш табиийдир. Энди

эканини, яъни тўғри тўртбурчак диогонали узунлигининг квадрати, унинг параллел бўлмаган икки томони узунликлари квадратлари йиғиндисига тенг (Пифагор теоремаси) эканини исбот қилайлик.
Исбот. Векторлар узунлиги квадратларининг таърифига мувофиқ:

Скаляр кўпайтманинг дистрибутивлигига асосан (3⁰ аксиома):
.
х ва у векторларнинг ортогоналлигидан:
.
Демак,
,
шуни исбот қилиш керак эди.
Бу теоремани умумлаштириш мумкин. Агар x,y,z,…векторлар жуфт-жуфти билан ортогонал бўлса, у ҳолда

бўлади.
3. Коши-Буняковский тенгсизлиги. Ўтган пунктда биз бир камчиликка йул қўйдик. Биз х ва у векторлар орасидаги бурчакни

формула билан аниқладик. ни бу тенгликдан аниқлаш мумкин бўлиши учун:

ёки, барибир,
,
яъни
(6)
эканини исбот қилиш керак. Бу тенгсизлик Коши-Буняковский тенгсизлиги дейилади.
Шундай қилиб, икки вектор орасидаги бурчакни (5) формула билан аниқлаш учун, биз Коши-Буняковский тенгсизлигини исбот қилишимиз керак.
Буни исбот қилиш учун x-ty векторни қараб чиқайлик, бу ерда t – ихтиёри ҳақиқий сон. Скаляр кўпайтманинг 4⁰ аксиомасига асосан:
,
ҳар қандай t учун:

Биз кўрамизки, чап томондаги t га нисбатан квадрат учхад фақат манфий бўлмаган қийматларнигина қабул қилади. Шунинг учун иккита бошқа-бошқа ҳақиқий илдизи бўлиши мумкин эмас (ҳақиқий ҳар хил ва илдизларга эга бўлган квадрат учхаднинг кўриниши бўлади ва демак, ишорасини ўзгартиради). Бинобарин,

квадрат тенгламанинг дискриминанти мусбат бўла олмайди, яъни

бўлади. Шуни исбот қилиш керак эди.
Агар сонлар (2) ва (3) шартларни қаноатлантирса, у ҳолда ушбу тенгсизлик ўринли бўлади.

Коши-Буняковский тенгсизлигининг натижаси бўлган тенгсизликка мисол келтирамиз.
Лемма-1.V евклид фазосида ҳар қандай х ва у векторлар учун қуйидаги тенгсизлик ўринли:
(7)
Исбот.
,
аммо (Коши-Буняковский тенгсизлигига асосан) бўлгани учун

яъни , шуни исбот килиш керак эди.
Лемма исботланди.