Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Таъриф-3. - чизиқли операторнинг характеристик кўпҳади деб қуйидаги кўпҳадга айтилади:
.
Изох. Ушбу таъриф тўғри чунки у базис танлашга боғлик эмас. Ҳақиқатан ҳам,

булади.
Теорема-2. сони - чизиқли операторнинг хос қиймати бўлиши учун у оператор характеристик кўпҳадининг илдизи бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. сони - чизиқли операторнинг хос қиймати бўлса, шундай нолдан фарқли вектор учун

Теорема исботланди.
Натижа. Чекли ўлчамли комплекс фазода ҳар қандай чизиқли оператор хос векторга эга.
Бу натижада чекли ўлчамлилик шарти муҳим. чексиз ўлчамли фазода оператор ҳеч қандай хос векторга эга эмас.
Чизиқли оператор учун чизиқли V фазода хос векторларнинг мавжуд бўлиши, бу фазода бир ўлчамли инвариант қисм фазонинг мавжуд бўлишига тенг кучли. Бунга кўра, чекли ўлчамли комплекс фазода ҳар қандай чизиқли оператор бир ўлчамли қисм фазога эга.
Теорема-3. Агар чекли ўлчамли комплекс фазода икки чизиқли f ва g операторлар ўрин алмашинувчи (яъни fg=gf) бўлса, у ҳолда улар умумий хос векторга эга.
Исбот. Чизиқли f оператор учун a –хос вектор ва -унга мос хос сон бўлсин: . фазо чизиқли операторнинг (е бирлик оператор) негизи бўлсин. У нолдан фарқли, чунки . Агар бўлса, у ҳолда ва .
Бу эканини кўрсатади. Демак, чизиқли f ва g операторлар учун инвариант. Чизиқли g операторнинг аниқланиш соҳасини гача торайтириш натижасида ҳосил бўлган операторни билан белгилаймиз. Натижага асосан оператор да камида битта хос векторга эга. Масалан, шундай хос вектор бўлсин: . Бу вектор f учун ҳам хос вектор , чунки . Теорема исботланди.