Мавзу: Хос сонлари ва хос функциялари тушунчаси. Иккинчи тартибли дифференциал тенгламаларни даражали қаторлар ёрдамида интеграллаш

Мавзу: Хос сонлари ва хос функциялари тушунчаси. Иккинчи тартибли дифференциал тенгламаларни даражали қаторлар ёрдамида интеграллаш
Агар шундай сон топилсаки, нинг шу қийматида қуйидаги
, (1)
(2)
чегаравий масала айнан нолга тенг бўлмаган ечимга эга бўлса, у ҳолда бу сон (1), (2) чегаравий масаланинг хос қиймати дейилади, бу хос қийматга мос келган ечим эса хос функция дейилади.
Ўзига қўшма бўлган ушбу

иккинчи тартибли дифференциал тенгламанинг (2) чегаравий шартларни қаноатлантирадиган ва айнан нолга тенг бўлмаган ечимини топиш масаласи Штурм-Лиувилл масаласи дейилади.

Чегаравий масалаларнинг хос қиймат ва хос функцияларини топинг.

Мисол.
◄Бу ерда бир неча ҳолни қараймиз.
1) бўлсин. Бу ҳолда тенгламанинг умумий ечими кўринишда бўлиб, чегаравий шартларни фақат тривиал ечимгина қаноатлантиради, яъни ҳос қиймат эмас.
2) бўлсин. Бу ҳолда тенглама умумий ечимининг кўриниши бўлади. Бу ечимлар ичидан фақат тривиал ечимгина ва чегаравий шартларни қаноатлантиради. Демак, бўлган ҳолда ҳам хос қийматлар йўқ.
3) бўлсин. Бу ҳолда тенглама
(3)
кўринишдаги умумий ечимга эга. Бу ифодани чегаравий шартларга қўйиб,
(4)
тенгламалар системасига эга бўламиз. Хос қиймат ва хос функцияларнинг таърифларига кўра, (3) умумий ечим айнан нолга тенг бўлмаган функция бўлиши керак. Шунинг учун (4) тенгламалар системасида бўлиши керак (агар бўлса, бўлиб қолар эди). Шундай қилиб, яъни , бўлса, берилган чегаравий масала нолдан фарқли ечимларга эга бўлади. Охирги тенгликлардан олинган қийматлар берилган чегаравий масаланинг хос қийматларидир. Бу хос қийматларга мос келган хос функциялар кўринишда бўлади.►
Мисол.
◄Берилган тенгламани

кўринишда ёзиб олиб, бу тенглама Эйлер тенгламаси эканлигини кўриш қийин эмас. Эйлер тенгламасининг ечимини кўринишда излаб, ни аниқлаш учун яъни характеристик тенгламани тузамиз. Бу характеристик тенгламани ечиш нинг ишораси билан боғлиқ масала эканлиги тушунарли.
бўлсин. Бу ҳолда , яъни икки каррали илдиз бўлиб, Эйлер тенгламасининг умумий ечими кўринишда бўлади. Бу ечимни ва чегаравий шартларга қўйиб , яъни тривиал ечимни оламиз. Демак, - хос қиймат эмас.
бўлсин. Бу ҳолда бўлиб, Эйлер тенгламасининг уму-мий ечими кўринишда бўлади. Бу ечимни ва чегаравий шартларга қўйиб , яъни тривиал ечимни оламиз. Демак, ҳолда хос қийматлар йўқ.
бўлсин. Бу ҳолда бўлиб, Эйлер тенгламасининг уму-мий ечими кўринишда бўлади. Бу ифодани ва чегаравий шартларга қўйиб,
тенгламалар системасига эга бўламиз. Энди эканлигини эътиборга олсак, яъни бўлади. Шундай қилиб, сонлар берилган чегаравий масаланинг хос қиймат-ларидир. Буларга мос хос функциялар кўринишда бўлади.►
Мисол. Ушбу


чегаравий масала берилган бўлиб, ва сонлари шу масаланинг иккита турли хос қийматлари, ва эса шу хос қийматларга мос келган хос функциялар бўлсин.
(5)
эканлигини исботланг.
◄Аввал
ва
айниятларни мос равишда ва функцияларга кўпайтириб, сўнг-ра ҳосил бўлган натижаларни ҳадма-ҳад айирамиз:

ёки

Бу тенгликнинг иккала томонини интеграллаб,


тенгликларни оламиз. Бу тенгликнинг чап томони нолга тенг, шунинг учун

Энди эканлигидан (5) келиб чиқади.►