|
Чизиқли тенгламалар ечишнинг даражали қаторлар усули
Иккинчи тартибли тенгламани оламиз:
(1)
Фараз қиламиз, (1) тенгламанинг ва коэффициентлари интервалда аналитик функциялар бўлсин, яъни бу функциялар интервалда яқинлашувчи бўлган
(2)
даражали қаторларга ёйилсин.
Теорема. Агар ва функциялар интервалда аналитик функциялар бўлса, у ҳолда (1) тенгламанинг ҳар қандай ечими интервалда аналитик бўлади, яъни бу ечим интервалда яқинла-шувчи
даражали қаторга ёйилади.
Бу теорема (1) тенгламанинг ечимини даражали қатор кўринишида қуриш (топиш) имконини беради. Шу ишни амалга оширамиз. Қисқалик учун, деб оламиз. (1) тенгламанинг ечимини нинг даражалари бўйича қатор кўринишида излаймиз:
, (3)
бу ерда - ҳозирча номаълум ва келгусида аниқланиши лозим бўлган коэффициентлар.
(3) дан ва ни кетма-кет топиб
,
сўнгра ва нинг ифодаларини (1) тенгламага қўямиз:
Шу ерда математик анализ курсидан маълум бўлган даражали қатор-ларни кўпайтириш формуласидан фойдаланамиз:
.
Ҳосил бўлган охирги тенгламада даражалар олдидаги коэффициентларни нолга тенглаб, натижада номаълум коэф-фициентларни аниқлаш учун рекуррент тенгламалар системасига эга бўламиз:
(4)
ва коэффициентларга ихтиёрий қийматлар бериш мумкин (улар-дан камида биттаси нолдан фарқли бўлиши лозим, акс ҳолда ечим ҳосил бўлади). ва коэффициентларга аниқ қийматларни бериб, (1) тенгламанинг бошланғич шартларни қаноатлантирадиган ечимини излаймиз. Биринчи тенгламадан ни, иккинчи тенгламадан ни ва ҳ.к. аниқлаймиз.
Агар (1) тенгламада ва - рационал функциялар, яъни
бўлса ( , - кўпҳадлар), у ҳолда ёки бўл-гандаги нуқталар (1) тенгламанинг махсус нуқталари дейилади.
Иккинчи тартибли
(5)
тенгламада ва функциялар оралиқда аналитик бўлсин. Бу тенглама учун нуқта махсус нуқта бўлади, ва функцияларни даражали қаторга ёйганда ёки коэффициентлардан фақат биттасиги-на нолдан фарқли бўлади. Бу махсус нуқтанинг энг содда мисоли бўлиб, бундай нуқта регуляр махсус нуқта (ёки биринчи тур махсус нуқта) деб аталади.
махсус нуқтанинг атрофида даражали қатор кўринишидаги ечим мавжуд бўлмаслиги ҳам мумкин. Бундай ҳолда ечимни умумлашган дара-жали қатор кўринишида излаш керак:
(6)
бу ерда ва аниқланиши лозим бўлган номаълумлар.
(5) тенгламани да ўрганамиз. Бу тенгламага (6) ифодани да қўйиб, топамиз:
нинг даражалари олдидаги коэффициентларни бир-бирига тенглаб, рекуррент тенгламалар системасини ҳосил қиламиз:
(7)
бу ерда
. (8)
Шартга кўра, бўлганлиги учун сони
тенгламани қаноатлантириши лозим. Бу тенглама аниқловчи тенглама де-йилади.
- аниқловчи тенгламанинг илдизлари бўлсин. Агар айирма бутун сон бўлмаса, у ҳолда ҳар қандай бутун да , бўлади ва, демак, юқорида кўрсатилган усул билан (1) тенгла-манинг ўзаро чизиқли боғлиқсиз иккита ва ечимларини қуриш мумкин.
Агар айирма бутун сон бўлса, у ҳолда юқорида кўрсатилган усул билан битта ечимни умумлашган даражали қатор кўринишида топиш мумкин. Бу ечимни билган ҳолда Лиувилл-Остроградский формуласи ёрдамида билан чизиқли боғлиқсиз бўлган иккинчи ечимни топиш мумкин:
(9)
Бу формуладан ечимни
кўринишда излаш кераклиги келиб чиқади ( сони нолга тенг бўлиши ҳам мумкин).
Қуйидаги масалаларда берилган тенгламаларнинг чизиқли боғлиқсиз ечимларини даражали қаторлар кўринишида топинг. Топилган қаторнинг йиғиндисини имкони борича элементар функциялар ёрдамида ифодаланг.
Мисол.
◄ функциялар да аналитик ва бўлганлиги учун аналитик ечим мавжуд. Бу ечимни (3) кўринишда излаймиз ва уни берилган тенгламага қўйиб, бўйича айният оламиз:
,
ёки
Бу ердан, нинг бир хил даражалари олдидаги коэффициентларни бир-бирига тенглаштириб, коэффициентларни аниқлаш учун рекуррент муно-сабатларга эга бўламиз:
Айтайлик, бўлсин, у ҳолда
Шунга асосан,
.
Шунга ўхшаш, агар бўлса, у ҳолда
ва тегишли ечим
кўринишда бўлади.
Ҳосил бўлган даражали қаторлар да яқинлашувчи эканлиги-ни текшириш қийин эмас. Бундан ташқари, , айният бажарилмайди (масалан, тенглик нинг таърифига зид), шу-нинг учун ва ечимлар чизиқли боғлиқсиз бўлади. Шундай қилиб, улар тенглама ечимларининг фундаментал системасини ташкил этади ва берилган тенгламанинг умумий ечими
кўринишда топилади.►
Мисол.
◄Ушбу
функция ( ) ўзгарувчилар бўйича аналитик бўлганлиги учун бу тенглама бўлганда аналитик ечимларга эга. Аввало бу ечимларни нол нинг бирор атрофида топамиз, яъни ечимларни
.
кўринишда излаймиз. Бу қаторни тенгламага қўйсак, қуйидаги айният ҳосил бўлади:
,
ёки
Бу ердан, нинг бир хил даражалари олдидаги коэффициентларни бир-бирига тенглаштириб, коэффициентларни аниқлаш учун рекуррент муно-сабатларга эга бўламиз:
Айтайлик, бўлсин, у ҳолда
Демак,
,
яъни
Шунга ўхшаш, агар бўлса, у ҳолда
Шунинг учун
,
яъни
, функциялар да ҳам берилган тенгламанинг ечимлари бўлишини текшириб кўриш қийин эмас.►
Мисол.
◄Бу тенгламани ечишда
,
ёйилмадан фойдаланамиз ва ечимни
кўринишда излаймиз. Юқоридаги мулоҳазаларни такрорлаб, коэффициентларни аниқлаш учун тенгламалар системасини тузамиз:
Агар деб олсак, у ҳолда
Демак,
.
Шунга ўхшаш, агар бўлса, у ҳолда
ва тегишли ечим
кўринишда бўлади.►
Қуйида берилган тенгламаларнинг ечимларини даражали (ёки умум-лашган даражали) қаторлар кўринишида топинг.
Мисол.
◄Бу тенгламанинг коэффициенти да нолга тенг бўлган-лиги учун берилган тенгламанинг
(10)
умумлашган даражали қатор кўринишидаги камида битта нотривиал ечими мавжуд. Қаторни тенгламага қўйиб ва нинг даражалари олдидаги коэффициентларни бир-бирига тенглаштириб, қуйидаги системани ола-миз:
.
бўлсин. Бу ҳолда аниқловчи тенгламадан топамиз:
Сўнгра, ушбу
рекуррент формуладан (10) умумлашган даражали қаторнинг коэффи-циентларини топамиз. Агар бу формулада деб олсак, у ҳолда бўлиб, тегишли ечим
,
кўринишда бўлади. Худди шунга ўхшаш, да
бўлади ва иккинчи чизиқли боғлиқсиз ечим
кўринишда топилади.►
Do'stlaringiz bilan baham: |
