Fizika – matematika fakul’teti “Matematika” kafedrasi 5130100 «Matematika»

1.2.3-teorema: Vektorlarning skalyar ko’paytmasi ular modullari bilan ular orasidagi burchak kosinusi ko’paytmasiga teng.
Isboti. berilgan vektorlar va φ ular orasidagi burchak bo’lsin. Ushbularga egamiz:


yoki

Bundan skalyar ko’paytma va vektorlar uzunliklari orqali ifodalanishi ko’rinib turibdi, koordinatalar sistemasini maxsus tanlashdan skalyar ko’paytma o’zgarmaydi. Koordinatalarning bu sistemasini 1.2.14-chizmada ko’rsatigandek olamiz.


1.2.14-chizma. Vektorlarni skalyar ko’paytirish
Koordinatalar sistemasini bunday tanlashda vektorning koordinatalari va 0dan, vektorning koordinatalari , dan iborat. Skalyar ko’paytma esa ushbuga teng:

Teorema isbotlandi.
1.2.3-teoremadan ushbu xulosa chiqadi: agar vektorlar perpendikulyar bo’lsa, ularning skalyar ko’paytmasi nolga teng. Aksincha, noldan farqli vektorlarning skalyar ko’paytmasi nolga teng bo’lsa,vektorlar perpendikulyar bo’ladi.
1.2.3-masala: va vektorlar berilgan. Shunday λ sonni topingki, vektor vektorga perpendikulyar bo’lsin.
Yechish: Bu yerda

bundan



Ikki vektorning vektorial ko’paytmasi
Faraz qilaylik, ikkita vektorlar berilgan bo’lsin. vektorga vektorial ko’paytmasi deb, shunday uchinchi aytiladiki, u vektor quyidagicha aniqlanadi:

1. 
   uzunligi vektorlar uzunliklarining ular orasidagi
   

burchakning sinusi bilan ko’paytmasiga teng, ya’ni

Bu ta’rifga ko’ra vektorning uzunligi vektorlarda yasalgan parallelogrammning yuzini ifodalovchi son bilan ifoda qilinadi;

2. 
   yo’nalishi vektorlarga qurilgan parallelogrammning
   
3. 
   tekisligiga perpendikulyar bo’lib, (1.2.15-chizma)