Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan

3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya X R to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta X ning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-xossa. Agar x da f( x ) funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi.
2-xossa. Agar
, (b – chekli son)
bo‘lsa, u holda  nuqtaning shunday  ( atrofi topiladiki, bu atrofda f( x ) funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Aytaylik,

bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan
,  ,  da
ya’ni

bo‘ladi.
Keyingi tengsizliklardan f( x ) funksiyaning  nuqtaning  atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi.
3-xossa. Agar

bo‘lib, b < p bo‘lsa, u holda  nuqtaning shunday  atrofi topiladiki, bu atrofda

bo‘ladi.
Shartga ko‘ra

Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra  uchun shunday  son topiladiki,  ,  ,  uchun

bo‘ladi. Bu esa  da f( x ) bo‘lishini bildiradi.
Faraz qilaylik, f( x ) va g( x ) funksiyalar X R to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
4-xossa. Agar

bo‘lib,  da f( x ) tengsizlik bajarilsa, u holda  , ya’ni

bo‘ladi.
Aytaylik,

bo‘lsin.
Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra  ga intiluvchi ixtiyoriy

ketma-ketlik uchun

( 1 )

bo‘ladi.
Ravshanki,  da

f(

( 2 )

Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan
ya’ni  bo‘lishini topamiz. 
5-xossa. Faraz qilaylik,
, (
limitlar mavjud bo‘lsin. U holda
a)  da  ;
b)  ;
v) 
g) Agar  bo‘lsa,  ;
bo‘ladi.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.
2-misol. Ushbu

limit hisoblansin.
Ma’lumki, 1 . Shuni hisobga olib topamiz:
= .