Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan

12-ta’rif. Agar son uchun ketma-ketlikning (yoki yoki ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi hadi topilsa, ketma-ketlikka chegaralanmagan deyiladi.
Ta’riflardan ko‘rinadiki, ketma-ketlikning barcha elementlari: u yuqoridan chegaralangan bo‘lsa oraliqqa, u quyidan chegaralangan bo‘lsa oraliqqa, u ham quyidan ham yuqoridan chegaralangan bo‘lsa oraliqqa tegishli bo‘ladi. Chegaralanmagan ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo‘lishi mumkin.
Chegaralangan va chegaralanmagan ketma-ketliklarga misollar keltiramiz.
1. quyidan chegaralangan, ammo yuqo-ridan chegaralanmagan ( ).
2. yuqoridan chegaralangan, ammo quyidan chegaralanmagan .
3. chegaralangan .
4. chegaralanmagan.
13-ta’rif. Agar uchun: bo‘lsa, ketma-ketlikka qat‘iy o‘suvchi deyiladi; bo‘lsa, ketma-ketlikka qat‘iy kamayuvchi deyiladi; bo‘lsa, ketma-ketlikka kamaymaydigan deyiladi; bo‘lsa, ketma-ketlikka o‘smaydigan deyiladi.
Barcha bunday ketma-ketliklar umumiy monoton ketma-ketlik nomi bilan birlashtiriladi. Bunda o‘suvchi va kamayuvchi ketma-ketliklarga qat‘iy monoton ketma-ketliklar deyiladi.
Monoton ketma-ketliklarga misollar keltiramiz.
1. o‘suvchi va chegaralangan ketma-ketlik.
2. kamaymaydigan va chegaralanmagan ketma-ketlik.
3. kamayuvchi va chegaralangan ketma-ketlik.
4. o‘smaydigan va chegaralangan ketma-ketlik.
Ikkita va ketma-ketlikning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi, bo‘linmasi (bunda deb, har bir hadi by ketma-ketliklar mos hadlarining yig‘indisidan, ayirmasidan, ko‘paytmasidan va bo‘linmasidan iborat bo‘lgan ketma-ketlikka aytiladi.
Ko‘rsatilgan amallar simvolik tarzda quyidagicha yoziladi:


Xususan, ketma-ketlikning songa ko‘paytmasi deb, har bir hadi ketma-ketlik mos hadining shu songa ko‘paytmasidan iborat bo‘lgan
ketma-ketlikka aytiladi.
14-ta’rif. Agar son uchun shunday nomer topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlikka cheksiz katta ketma-ketlik deyiladi.
Har qanday cheksiz katta ketma-ketlik chegaralanmagan bo‘ladi. Ammo chegaralanmagan ketma-ketlik cheksiz katta bo‘lmasligi mumkin. Masalan, shunday ketma-ketliklardan biridir.
15-ta’rif. Agar son uchun shunday nomer topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlikka cheksiz kichik
ketma-ketlik deyiladi.
1-misol.
ketma-ketlik cheksiz kichik ekanini ko‘rsatamiz. Buning uchun son olamiz. tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqadi. , ya’ni ning butun qism, desak, uchun bo‘ladi. Demak, ta’rifiga ko‘ra ketma-ketlik cheksiz kichik bo‘ladi.
Keltirilgan misolda nomer ga bog‘liq bo‘ladi, ya’ni ning turli
qiymatida har xil qiymatlarga ega bo‘ladi. Masalan, da da . Shu sababli cheksiz kichik ketma-ketlikning ta’rifida deb yozilgan.