Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan

2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya X to‘plam X R da berilgan bo‘lib, nuqta X to‘plam-ning limit nuqtasi bo‘lsin.  nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy { } :

ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat { f ( )} :

ketma-ketlikni hosil qilamiz.
3-ta’rif. (Geyne). Agar  da  ( bo‘ladigan ixtiyoriy  ketma-ketlik uchun n da f( ) bo‘lsa, b ga f(x) funksiyaning  nuqtadagi limiti deyiladi va x da f(x) yoki

kabi belgilanadi.
Eslatma. Agar n da

bo‘ladigan turli  ,  ketma-ketliklar uchun n da f( , f( bo‘lib, bo‘lsa f(x) funksiya x da limitga ega emas deyiladi.
1-misol. Ushbu

unksiyaning  nuqtadagi limiti topilsin.
Quyidagi  :

ketma-ketlikni olaylik. Unda
f(

bo‘lib, n da f( bo‘ladi. Demak,

4-ta’rif. (Koshi). Agar  son olinganda ham shunday  topilsaki,  uchun

tengsizlik bajarilsa, b soni f(x) funksiyaning  nuqtadagi limiti deyiladi:
.
Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
,  ,  : 
bo‘lsa,

5-ta’rif.  Agar  son olinganda ham shunday  son topilsaki,  uchun f(x) > tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiyaning  nuqtadagi limiti + deb ataladi va

kabi belgilanadi.
Masalan,

funksiya uchun
+
bo‘ladi.
Aytaylik, f(x) funksiya X R  to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
6-ta’rif. Agar  son olinganda ham shunday  topilsaki,  x > uchun

tengsizlik bajarilsa, b soni f(x) funksiyaning  dagi limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
7-misol. Aytaylik, X = (0, ,  , f(x) = bo‘lsin. U holda

bo‘ladi.
Haqiqatan ham,  sonnni olaylik. Ravshanki,  uchun

Demak,  deyilsa, unda  uchun

bo‘ladi.
7-ta’rif. Agar

bo‘lsa, b son f ( x ) funksiyaning  nuqtadagi chap limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik, f ( x ) funksiya X R to‘plamda berilgan,  nuqta X ning o‘ng limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.
8-ta’rif. Agar

bo‘lsa, b son f( x ) funksiyaning  nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Masalan,
f( x ) =
funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.