Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan

1-eslatma. Biz to’plamning aniq quyi chegarasi ketma-ketlikning limit nutasi ekanini isbotladik. Endi dan katta birorta ham son ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’la olmasligini ya’ni bu ketma-ketlikning eng katta limit nuqtasi ekanini isbotlaymiz. son dan katta ixtiyoriy son bo’lsin. ni shunday kichik qilib olamizki, son ham dan katta bo’lsin. to’plamdan shunday nuqta topiladiki u dan chapdan yotadi. to’plamning kiritilishidan ko’ra nuqtaning atrofida ketma-ketlik ko’pi bilan chekli sonda elementlari yotadi. Bu esa soni limit nuqtasi bo’la olmasligini isbotlaydi.
19-ta’rif. ketma-ketlikning eng katta limit nuqtasi bo’lsin bu ketma-ketlikning yuqori limiti deyiladi va kabi belgilanadi. Quyi limiti kabi belgilanadi.
Yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish haqida teorema. (Balsano–Veyershtrass teoremasi). Ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
Isbot. Ketma-ketlik chegaralangani uchun u hech bo’lmaganda bitta limit nuqta ga ega bo’ladi. Bu holda ketma-ketlikda x nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
1-eslatma: Ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlikdan monoton qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Haqiqatdan ham, Bolsano –Veyershtrass teoremasiga asosan har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
2-eslatma: chegaralangan ketma-ketlik bo’lib, uning elementlari esa kesmada yotsin deylik.
Bunda ixtiyoriy yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikning limiti c ham shu
kesmada yotadi. Haqiqatdan ham, bo’lgani uchun tengsizlik bajariladi. Bu esa ning segmentda yotishini ko’rsatadi. Ayrim ixtiyoriy hollarda hatto chegaralanmagan ketma-ketlikdan ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin. Masalan ketma-ketlik chegaralanmagan bunga qaramasdan juft nomerli elementlardan tuzilgan qismiy ketma-ketlik yaqinlashuvchidir. Lekin har bir chegaralanmagan ketma-ketlikdan ham yaqinlashuvchi qismiy katma-ketlik ajratish mumkin bo’lavermaydi. Masalan ketma-ketligi uzoqlashuvchidir. Shuning uchun ham hamma chegaralanmagan ketma-ketliklardan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin degan mulohoza umuman olganda to’g’ri emas.