9-mavzu. Funksiya limiti. Reja: Funksiya limitining Koshi va Geyne ta’riflari. Chap va o’ng limitlar

9-MAVZU. FUNKSIYA LIMITI.
Reja:
1. Funksiya limitining Koshi va Geyne ta’riflari.
2. Chap va o’ng limitlar.
3. Funksiya limitining xossalari.
4. Ajoyib limitlar.

1. Funksiya limitining Koshi va Geyne ta’riflari.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya  to‘plamda berilgan bo‘lib, x₀ nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. x₀ nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy { x_n}:

ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat {f(x_n)}:
f(x₁), f(x₂), … , f(x_n), …
ketma-ketlikni hosil qilamiz.
1-ta’rif. (Geyne). Agar bo‘ladigan ixtiyoriy {x_n} ketma-ketlik uchun bo‘lsa, b ga f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi limiti deyiladi va  yoki kabi belgilanadi.
Eslatma. Agar   da
va   
bo‘ladigan turli  ,   ketma-ketliklar uchun   da  ,  bo‘lib,   bo‘lsa   funksiya   da limitga ega emas deyiladi.
1-misol. Ushbu

funksiyaning   nuqtadagi limiti topilsin.
Quyidagi  :

ketma-ketlikni olaylik. Unda

bo‘lib,   da   bo‘ladi. Demak, .
2-ta’rif. (Koshi). Agar   son olinganda ham shunday  topilsaki,   uchun

tengsizlik bajarilsa,   soni   funksiyaning   nuqtadagi limiti deyiladi:
.
3-ta’rif. Agar   son olinganda ham shunday   son topilsaki,
uchun   tengsizlik bajarilsa,   funksiyaning   nuqtadagi limiti   deb ataladi va

kabi belgilanadi.
Masalan,
, 
funksiya uchun

bo‘ladi.
Aytaylik,   funksiya   to‘plamda berilgan bo‘lib,   nuqta   to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
4-ta’rif. Agar   son olinganda ham shunday   topilsaki,     uchun

tengsizlik bajarilsa,   soni   funksiyaning   dagi limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.