|
Чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечиш
Асосий саволлар
Чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечишнинг дастлабки маълумотлари.
Чизикли алгебраик тенгламаларни ечишнинг икки кисмга, яъне аник ва итерацион методларга булиниши.
Чизикли алгебраик тенгламалар системасини тескари матрица ва Крамер усули оркали ечиш.
Номаълумларни кетма-кет йўкотиш. Гаусс методи.
Таянч иборалари: Аник метод, Такрибий метод, сонли якинлашиш, Алгебраик, блок-схема.
Назарий ва тадбикий математиканинг купгина масалалари чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечишга олиб келинади. Масалан функцияни унинг нуктада берилган кийматлари ёрдамида чи тартибли купхад билан интерполяциялаш ёки функцияни урта квадратлар методи ёрдамида якинлаштириш масалалари чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечишга келтирилади.
Бир жинсли булмаган чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечиш масаласи билан матрицаларнинг тескарисини топиш ва детерминантларини хисоблаш масаллари узвий равишда боглангандир. Бу масалалар назарий жихатдан осонгина ечилади, лекин матрицаларнинг тартиби ортган сари бу масалаларни амалда ечиш жуда катта хисоблашларни талаб килади.
Чизикли алгебраик тенгламаларни ечиш асосан икки – аник ва итерацион методларга булинади.
Хозирга вактда бу масалаларни ечиш учун жуда куп методлар яратилган ва уларни такомиллаштириш устида жадал ишлар олиб борилмокда.
Аник метод деганда шундай метод тушуниладики унинг ёрдамида чекли микдордаги арифметик амалларни аник бажариш натижасида масаланинг аник ечимини топиши мумкин. Хаммага маълум булган Крамер методи, Гаусс бош элементлар методи, квадрат илдизлар методи мисол була олади. Лекин Крамер коидаси амалда ишлатилмайди, чунки бу метод билан чи тартибли чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечиш учун тартибдаги арифметик амалларни бажаришга тугри келади. Бу нихоятда ката сон булиб, бу коида билан хатто тартибли системани ечиш учун хам хозирда мавжуд булган ЭХМ лари ожизлик килади.
Итерацион методлар шу билан характерланадики, чизикли алгебраик тенгламалар системасининг ечими кетма-кет якинлашишларнинг лимитидек топилади.
Итерацион методларни куллаётганда факат уларнинг якинлашишларигина эмас, балки якинлашиш тезлиги хам катта ахамиятга эгадир.
Итерацион методларга: Итерация методи, Зейдел методи, Релаксация методлари мисол була олади.
Бу маънода хар бир итерацион метод универсал булавермайди.
Бу методлар айрим системалар учун жуда тез якинлашиб, бошка системалар учун секин якинлашиши ёки умуман якинлашмаслиги мумкин. Шунинг учун итерацион методларни куллаётганда системани аввал тайёрлаб олиш керак. Бунинг маъноси шундан иборатки берилган системани унга тенг кучли булган шундай системага алмаштириш кераки, хосил булган система учун танланган метод тез якинлашсин.
Хизирги замон ЭХМ лари ёрдамида аник методлар билан тартиби 103 дан катта булмаган, итерацион методлар ёрдамида 106 дан ортмайдиган чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечиш мумкин.
Фараз киламиз -чи тартибли -та номаълумли чизикли тенгламалар системаси берилган булсин.
Куйидаги белгилашлар киритамиз.
бу белгилашлардан фойдаланиб (1) системани куйидагича ёза оламиз.
(2)
(1) системани айниятга айлантирадиган сонлар тупламига (1) системанинг ечими, сонларнинг узи эса унинг илдизлари деб айтилади.
Агар
булса (1) система ягона ечимга эга булади.
Хакикатан хам булса тескари матрица мавжуд булади. (2) – чини чапдан га купайтириб хосил киламиз.
бу ердан.
уйда мисол ишлаш керак
(1) – системани ечиш учун Кромер коидасини куллаймиз
( номаълум олдидаги коэффициентлар урнида озод хадлар катнашади)
уйда мисол:
Шундай килиб куриниб турибдики та номаълумли та тенгламалар системасини ечиш чи тартибли чи детерминантни ечиш билан боглик. Агар юкори тартибли булса бундай детерминантларни ечиш катта кийинчиликлар билан боглик. Шунинг учун шу масъалани ечишни тугри методларидан булган Гаусс методи билан танишамиз. Бу методнинг алгоритми жуда кулай ва дастурлашга жуда осон кучади. Бу методнинг асосий гояси номаълумларни кетма-кет йукотишга асосланган. Бу метод бир неча хисоблаш симмаларига эга шулардан бири Гаусснинг компакт схемасини куриб чикамиз.
Фараз килайлик, (етакчи элемент) булса, акс холда тенгламаларни уринларини алмаштириб, олдидаги коэффициентни нолдан фаркли булган тенгламани биринчи уринга кучирамиз. Системадаги биринчи тенгламанинг барча коэффициентларини га булиб
ни хосил киламиз, бу ерда
(4) дан фойдаланиб (3) системанинг колган тенгламаларидан -ни йукотиш мумкин. Бунинг учун (4) тенгламани кетма-кет ларга купайтириб, мос равишда системанинг 2 – чи, 3 – чи ва х.казо тенгламаларидан айирамиз, натижада куйидаги система хосил киламиз.
бу ерда коэффициентлар
формула ёрдамида хисобланади.
Энди (5) система устида худи юкоридаги алмаштиришларни утказамиз.
Бунинг учун (5) системадаги биринчи тенгламанинг барча коэффициентларини етакчи элемент га булиб
ни хосил киламиз, бу ерга
(6) тенглама ёрдамида (5) системанинг кейинги тенгламаларидан ни йукотиб
ни хосил киламиз.
Номаълумларни йукотиш жараёнини давом эттириб
га эга буламиз
у вактда биз учбурчак матрицали ва (3) системага экваиволент булган, куйидаги системага эга буламиз.
Охирги системадан кетма-кет ларни тониш мумкин.
(8) системанинг коэффициентларини топиш Гаусс методининг тугри юриши, (9) системадан ечимни топиш жараёни тескари юриши дейилади.
Мисол:
Гаусс методи билан та номаълумли чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечиш учун бажариладиган арифметик амалларнинг микдори та купайтириш ва булиш, та кушишдан иборат булади.
Гаусс методининг куллашнинг зарур ва етарли шарти шундан иборатки етакчи элементларнинг хаммаси нолдан фаркли булиши керак.
Кулда хисоблаётганда хатога йул куймаслик учун, хисоблаш жараёнини кантроль килиш маъкулдир. Бунинг учун биз берилган система матрица сатрлардаги элементлар ва озод хаднинг йигиндисидан тузилган назорат.
йигиндидан фойдаланамиз.
Агар ларни берилган системани озод хадлари деб кабул килсак у холда алмаштирилган
системани ечими берилган системанинг ечими оркали куйидагича ифодаланади.
Агар сатр элементлар устида бажариладиган амалларни хар бир сатрдаги контроль йигинди устида хам бажарсак ва хисоблашлар хатосиз бажарилган булса, у холда назорат йигиндилардан тузилган устуннинг хар бир элементи мос равишда алмаштирилган сатрлар элементларининг йигиндисига тенг булади.
Бу хол эса тугри юришни контроль килиш учун хизмат килади. Тескари юришда эса, контроль ларни топиш билан бажарилади.
Юкоридаги бажарилган амалларни куйидаги жадвалда жойлаштириш мумин.
|
|
|
|
озод хадлар
|
|
схема кисмлари
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Do'stlaringiz bilan baham: |
