Fanning o‘quv-uslubiy majmuasi o‘quv reja va namunaviy o‘quv dasturiga muvofiq ishlab chiqildi

6 – маъруза


Чизикли булмаган тенгламалар системасини итерация методи билан ечиш


Асоссий саволлар

1. 
   Итерация усулининг асосий гояси
   
2. 
   Итерация усулининг якинлашиши
   
3. 
   Ньютон методи.
   

Таянч иборалар: Якинлашиш, махсусмас матрица, тескари матрица, норма;

Фараз киламиз чизикли булмаган тенгламалар системаси берилган булсин.

буерда функциялар хакикий ва яккаланган (чегара) ечимнинг атрофида аникланган ва узлуксиз.
Куйидаги векторларни киритиб
ва
1-чи системани куйидаги куринишда ёзиш мумкин.

(2) – чи векторли тенгламани илдиз векторини топиш учун итерация методини куллаш максадга мувофик булади.
(3)
бошлангич якинлашиш сифатида олиш мумкин. Куйида бу жараённи якинлашиши курсатилади.
Таъкидлаш керакки (3) итерация жараёни якинлашса у вактда ёзиш мумкин.

ва бу киймат албатта (2) – чи тенгламани илдизи булади.
Хакикаттанхам (4)-чи бажарилади деб (3) дан да лимитга утиб ва бундан ташкари - нинг узлуксизлигидан фойдаланиб куйидагини хосил киламиз
бундан

шундай килиб (2)-чи векторли тенгламани илдизи булади.
Бундан ташкари хамма якинлашишлар сохасида тегишли булиб сохасида ягона илдиз булса тенг эканлиги аник булиб колади. Итерация усулини умумий чизикли булмаган тенгламалар системасига
(5)
куллаш мумкин. - вектор функция чегараланган атрофнинг -соха атрофида аникланган узлуксиз функция булиб хисобланади. Мисол тарикасида (5) системани
(5¹)
куринишида ёзиб оламиз. Бу ерда (набло) махсусмас матрицадан иборат.
(6)
белгилаш киритиб
(7) ни хосил киламиз.
(7)-чига оддий итерация методини куллаш мумкин, яъни агар сохада функция узлуксиз хосилага эга булса (6) – чи формуладан

келиб чикади.
Итерация жараёни якинлашади агар функция нормаси буйича жуда кичик микдор булса.
Бу холатни хисобга олиб махсусмас матрницани шундай танлаб оламизки.
(8)
бу ердан, агар матрица махсусмас булса.
(8) тескари матрица мавжуд булади.
(8) – ни га куйиб хосил киламизки
(9)
бу модификацияланган Ньютон методини (5) системага куллашдан хосил булган формуладан иборат.
Агар булса дастлабки якинлашишни бошкача танлашга тугри келади.
Мисол: Куйидаги системани итерация усули билан ечинг
(9)
Графикдан куринадики (9) система 2 та ишораси билан фарк киладиган ечимга эга булади.
Биз факат мусбат ечимни топиш билан чегараланамиз, шунинг учун расмдан мусбат ечимни дастлабки киймати сифатида ни олиш мумкин.

Якобсен деб

бу ердан

ва

махсусмас марица булганлиги учун тескари матрица мавжуд булади.

шундай килдиб

Барча топилган кийматларни жойига куйсак якинлашиш жараёнининг 1-чи якинлашишини хосил киламиз. 1, 2, 3 якинлашишлар худи юкоридагидек топилади.
Чизикли булмаган тенгламалар системасини Ньютон усули билан ечиш.

1. 
   Иккита тенглама учун Ньютон усули.
   
2. 
   Тенгламалар системасини ечиш учун Ньютон методи.
   
3. 
   Сонли якинлашишни топиш усули.
   
4. 
   Мисоллар ечиш.
   

Таянч иборалар: Дастлабки якинлашиш, График усул, Тейлор катори, Якобиан, тескари матрица

Фараз киламиз иккита номаълумли чизикли булмаган тенгламалар системаси берилган булсин

Ньютон усулига кура кетма-кет якинлашишлар куйидаги формула билан топилади.


якобиан

Дастлабки якинлашлар гарфик йул билан такрибий топилади.
Ньютон методи дастлабки якинлашишлар хакикий илдизга якин булгандагина аник натижа беради.
Мисол: Куйидаги чизикли булмаган системани илдизлари топилсин.

график йул билан дастлабки якинлашишларни топамиз.
(1,2; 1,7) нуктада Якобианни хисоблаймиз, яъни

(2) – чи формулага асосан.

Бу жараённи давом этириб
ва х.казо

Чизикли булмаган тенгламалар системасини Ньютон усули билан ечиш

(1) – чини чап томони хакикий функциялардан иборат
(1) – чини векторли формада ёзиш мумкин, бунинг учун куйидаги белгилашлар киритиб

(2)- системани ечиш учун кетма-кет якинлашиш методидан фойдаланамиз:
Фараз киламиз илдизни - чи якинлашиши топилган булсин.

бу вактда (2) тенгламани аник илдизини
(3) шаклда ёзиш мумкин


тузатма
(3) – чини (2) га куйиб
(4) ни хосил киламиз.
Фараз киламиз функция бирор каварик областида узлуксиз ва дифференциалланувчи булсинки бу област ва ларни уз ичига олсин.
(4) тенгламани чап томонини кичик векторни даражалари буйича ёйиб ва чизикли хадлар билан чегараланиб хосил киламиз.
(5)
(5) дан маълумки - урнида якабианни тушуниш керак.

ёки киска килиб

(5) система тузатма га нисбатан матрицага эга булган чизикли системани билдиради. Шунинг учун уни куйидагича ёзиш мумкин.

деб

ни хосил киламиз.
Шундай килиб
(6)
- сифатида изланаётган илдизни купол кийматини олиш мумкин.
Ньютон методи билан куйидаги тенгламалар системасининг мусбат илдизлари топилсин.

Ечиш

бу ердан



Якоби матрицасини тузами.

буердан

Энди тескари матрицани тузамиз.

топилган кийматларни булганда (9) га куйиб 1-чи якинлашишни топамиз.



Бундан кейинги лар компютерда худи юкоридагидек топилади.
Биз такрибий ечимни сонли якинлашишини топишимиз мумкин.
Ньютон усулини алгоритмини, блок-схемасини ва дастурини тузиб маълум бир аниклашда ечимни топиши мкмкин.

7 – маъруза