Eng katta boylik-bu aql zakovat va ilm, eng katta meros-bu yaxshi tarbiya,eng katta qashshoqlik-bu bilimsizlikdir!

Bixari lemmasi. , , funksiyalar nomanfiy va uzluksiz hamda kamaymaydigan va da bo’lib,
, (2.5)
tengsizlik o’rinli bo’lsin. U holda barcha lar uchun
(2.6)
tengsizlik o’rinli bo’ladi, bu yerda
(2.7)
va funksiya funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli.

3-§. Vektor yozuvli Koshi masalasi.
Agar (2.1) masalada va lar vektor-funksiyalar, ya’ni , deb qaralsa, u holda (2.1) masalaning o’rniga quyidagi masalaga ega bo’lamiz:


(3.1)

.
Yuqoridagi kabi Pikar teoremasi shartlari bajarilganda (3.1) masalaning yagona yechimi mavjud bo’ladi. Bunda vektor funksiyaning uzluksizligi deganda uning koordinatalarining uzluksizligi tushuniladi, (2.2) Lipshits sharti esa har bir uchun har bir o’zgaruvchi bo’yicha olinadi. va absolyut qiymatlar o’rniga tegishli vektorning uzunligi olinadi.
Quyidagi masala ham (3.1) masalaga keltiriladi. Berilgan nuqtaning atrofida aniqlangan shunday funksiyani topish kerakki, bu funksiya
_(3.2)
tenglamani va
..., (3.3)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsin.
Agar nuqtani o’z ichiga olgan biror sohada funk-siya va uning , , ,..., bo’yicha birinchi tartibli xususiy hosilalari uzluksiz bo’lsa, u holda {(3.2), (3.3)} masala nuqtaning soha ichida butunlay joylashgan yetarlicha kichik atrofida yagona yechimga ega. Agar deb olsak, {(3.2), (3.3)} masala o’rniga boshlang’ich shartlari
...,
bo’lgan

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
1. Quyidagi a) b) funksiya-lar polosada o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantiradimi?
a) bo’lsin. ayirmani baholaymiz:

So’ngra ekanligidan tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu esa funksiya polosada o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantirishini bildiradi.
b) funksiya polosada o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantiradi, deb faraz qilamiz, ya’ni shunday musbat N soni topiladiki, hamma nuqtalar uchun

munosabat o’rinli bo’ladi.
Endi bo’lsin. U holda barcha va lar uchun
, ya’ni
tengsizlik o’rinli bo’lishi lozim.Lekin ning yetarlicha kichik qiymatlarida oxirgi tengsizlikning bajarilmasligi ko’rinib turibdi. Demak, berilgan funksiya polosada Lipshits shartini qanoatlantirishi haqidagi faraz to’g’ri emas, ya’ni funksiya Lipshits shartini qanoatlantirmaydi.