Eng katta boylik-bu aql zakovat va ilm, eng katta meros-bu yaxshi tarbiya,eng katta qashshoqlik-bu bilimsizlikdir!

2-§.Koshi masalasi, Mavjudlik va yagonalik teoremalari.Pikar teoremasi.
Pikar teoremasi
Ushbu
, (2.1)
Koshi masalasini o’rganamiz. Qanday shartlar bajarilganda Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona bo’lishi bizni qiziqtiradi.
Agar funksiya , to’g’ri to’rtburchakda aniqlangan bo’lib, shunday musbat son topilsaki, , va tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va lar uchun
(2.2)
tengsizlik bajarilsa, u holda funksiya T to’g’ri to’rtburchakda o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantiradi, deyiladi.
Pikar teoremasi. Berilgan funksiya T to’g’ri to’rtburchakda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantirsin hamda
,
bo’lsin. U holda Koshi masalasi oraliqda yagona yechimga ega.
Pikar teoremasining shartlari bajarilganda Koshi masalasining yechimi ushbu
(2.3)
rekurrent munosabat bilan aniqlanadigan tekis yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-ketligining dagi limiti sifatida topilishi mumkin.
Koshi masalasining aniq yechimini uning ko’rinishdagi -yaqinlashishiga almashtirishdagi xatolik
(2.4)
tengsizlik bilan aniqlanadi.
Peano teoremasi. Agar funksiya T to’rtburchakda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda Koshi masalasi oraliqda kamida bitta yechimga ega bo’ladi.
Yechimni davom ettirish. Ko’p hollarda Koshi masalasining yechimi yuqoridagi teoremalarda ko’rsatilgan oraliqdan kengroq oraliqda ham mavjud bo’ladi.
Agar Pikar teoremasining shartlari yopiq sohada bajarilsa, u holda (2.1) masalaning yechimini shu sohaning chegarasigacha davom ettirish mumkin. Quyida shunga oid ba’zi faktlarni keltiramiz.
Agar funksiya polosada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, tengsizlikni qanoatlantirsa (bu yerda va - uzluksiz funksiyalar), u holda (2.1) masalaning har qanday yechimini butun intervalga davom ettirish mumkin.
Koshi masalasining yechimi mavjud bo’ladigan intervalning kattaligi haqidagi ma’lumot quyidagi tasdiqda o’z aksini topgan.