T a ‘ r I f. Agar ixtiyoriy n n uchun X Bu ikki XIL ketma-ketlik keng ma’noda o’suvchi deyiladi

Keys
T a ‘ r i f. Agar ixtiyoriy n N uchun x Bu ikki xil ketma-ketlik keng ma’noda o’suvchi deyiladi.
T a ‘ r i f. Agar ixtiyoriy n N uchun x >x (x Bu ikki xil ketma-ketlik keng ma’noda kamayuvchi deyiladi.
Yuqoridagi to’rt xil ketma-ketlik bir so’z bilan monoton ketma-ketliklar deyiladi.
T e o r e m a. Agar (x ) ketma-ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u chekli limitga ega; agar yuqoridan chegaralanmagan bo’lsa, u holda limx bo’ladi.
Isbot. (x ) o’suvchi va yuqoridan chegaralangan bo’lsin. U holda {x } to’plam ham yuqoridan chegaralangan bo’ladi, shuning uchun uning aniq yuqori chegarasi mavjud, uni a=sup{x } deb olaylik, a ni (x ) ketma-ketlikning limiti bo’lishligini ko’rsatamiz.
a son {x } to’plamning aniq yuqori chegarasi bo’lganidan barcha n N lar uchun x va har bir uchun shunday n mavjud bo’lib, bo’ladi. (x ) o’suvchi ketma-ketlik bo’lganligidan barcha n>n lar uchun bo’ladi. Yuqoridagilardan tengsizlik kelib chiqadi. Bundan ta’rifga binoan lim x =a bo’ladi.
Endi (x ) o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralanmagan bo’lsin, u holda har bir M>0 son uchun shunday n N son topilib, >M bo’ladi. (x ) o’suvchi bo’lganligidan n>n lar uchun x >M kelib chiqadi. Demak, lim x =+
T ye o r ye m a. Agar (x ) ketma-ketlik kamayuvchi bo’lib, quyidan chegaralangan bo’lsa, u chekli limitga ega, agar quyidan chegaralanmagan bo’lsa, u holda lim x =- bo’ladi.
Ketma-ketlikning limitini toping

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.