Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

H ' ( x ) = In —- ln| — //'(*) ^ i + J L .

p 1- p X \ - x
0 ‘z -o ‘zidan ko‘rinadiki, H ( p ) = H ' ( p ) = 0 va p * - p - > 0 bo'lganda quyidagi yoyilma o ‘rinli boMadi:
H {P*) = \ [ ^ + ^ ) { P * ~ P ) 1 + 0 ( \ p * - p ( ) * q=\ ~ P-
Buyoyilm adan 1-teorem aga asosan kelib chiqadiki, p* ~ p va n [ p * - p f -» 0 bo‘lsa
p ^ = k ^ l ^ t x v { - T R ( p ' - r f \

* Asimptotik analizda ko‘p qo'llaniladigan belgilashlarni eslatib o'tamiz: agar
b(x) > 0 va lim = 0 b o‘lsa, x->xn da a(x)=o(b(x)) deym iz; agar

x->*o b(x)
lim s u p ^ —^a(x)=0(b(x)) deymiz.

b(x)

83

Agar A =	1	1	- * /
	—	, cp(x) = - r = e		/2 b oisa oxirgi ekvivalentlik
yjlnnpq		V27t
inunosabatidan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Agar	z = n( p * - p) = k - np = o ( n^ ) boisa,
P ( S n = k ) = P ( S n -			np = z) ~ (p(M)- A .		(2)

Keltirilgan (2) ekvivalentlik munosabatini Muavr-Laplasning lokal limit teoremasi deb ham ataladi. Bu formula p*~p bolganda {Snko'rinishidagi hodisalarning ehtimolligini baholashga im - kon beradi- Agar p* tub m a’noda p dan farq qilsa, bu ehtimollikni oldingi 3.1-§ da keltirilgan natijalardan foydalanib baholash mum ­ kin.

Misol. Aytaylik toq sondagi n~2m +i hay’at a’zolaridan har biri boshqalarga bogiiq boim agan holda p= 0,7 ehtimollik bilan to ‘g‘ri qaror qabul qiladi. K o‘pchilik ovoz bilan qabul qilingan qaroming to ‘g‘ri bolishining ehtimolligini 0,99 dan kam b o l-masligini ta’minlaydigan hay’at a’zolarining minimal soni topilsin.
Yechish. Tasodifiy miqdor t,k= \ deymiz, agar A.-hay’at a’zosi to ‘g'ri qaror qabul qilsa, aksincha qA=0 deymiz, agar /c-hay’at a’zosi noto 1g‘ri qaror qabul qilsa. Masalaning ma’nosi bo‘yicha bizni n ning shundek toq qiymatlari qiziqtiradiki, ular uchun P(S„ < ni) < 0,01 b o lish i kerak. Tushunarliki, qabul qilingan qaroming aniqligiga n ning katta qiymatlarida erishish mumkin. Oldingi 3.1-§ da keltirilgan natijalarga asosan,
f t O ) - P ( S , S „ ) . - m) . j f r P (S , - m ) .

Biz ko‘rayotgan masalada P* ~ YJ , H [j/jj = - y in 4 p{\ - p ) ,

(fy ) = 1° —y . Bulami hisobga olgan holda, P(Sn=m ) ehtimol­ likni 1-teorema yordamida baholaymiz:

84

Oson ishonch hosil qilish mumkinki, a(n) monoton kamayuv-chi funksiya va
a(n) = 0,01
tenglamaning yechimi n—33 boMadi. Bu javobga aniq formula­ lardan va kompyuterdan foydalanib ham kelish mumkin.
Endi P(Sn=k) ehtimollikni 1-teoremaga asolanib baholashdagi yuzaga keladigan xatoliklarni o‘rganishga oMamiz. Buning uchun Stirling formulasidagi qoldiq hadning quyidagi bahosidan foydala-namiz: