Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

§:	- 6	8	9
10
P.	0,1	0,1	0,6	0,2

Taqsimot funksiyasini toping.

0,	x < - 6,		0	,
0, 1, - 6 < x < 8,			0, 1,
A) F { x ) = 0,2,	8	< x < 9,	C) F( x ) = {0	, 2,
0,8,	9	< x < 10,	0	, 6,
[1,	x > 10.		[h

= 6,
= 8,

= 9,
= 10,
> 10.

0,	x < - 6,		0,	x < - 6,
0, 1, - 6 < x < 8,
			0, 1,	- 6 < x < 8,
	8
B) F ( x ) H 0 , l ,		< x < 9,	D) F(x) = 0, 2,	8 < x < 9,
0,6,	9 < x < 10,		1.	x > 10.
[0,2,	x	> 10.

72

I l l boh. BOG‘LIQ BO‘LMAGAN TAJRIBALAR KETMA-KETLIGI
bobni o‘rganish natijasida talaba:
— Bernulli sxemasi;
— binomial taqsimot;
— Muavr-Laplasning lokal teoremasi;
— Muavr-Laplasning integral teoremasi;
— Puasson teoremasi haqida
tasavvurga ega bo‘lishi;
— binomial taqsimot formulasini;
— Muavr-Laplas teoremalarini;
— Puasson teoremasini
bilishi va amalda qo‘llay olishi;
— binomial taqsimot formulasidan foydalanib misollarni yechish;
— Muavr-Laplas teoremalaridan foydalanib masalalami yechish;
— Puasson teoremasidan foydalanib misollar yechishni uddalashi lozim.
3.1-§. Bernulli sxemasi. Binomial taqsimot
Ehtimolliklar nazariyasida Bernulli sxemasi deganda, o ‘zaro bogiiqsiz tajribalar ketma-ketligi tushuniladi va har bir tajriba natijasida biror A hodisaning ro‘y berishi yoki ro'y bermasligi kuzatiladi. Bu hodisaning ro‘y berish ehtimolligi p = P(A) tajriba tartibiga b og iiq bo'lm aydi.
Bernulli sxemasini umumiyroq qilib quyidagicha ham kiritish mumkin. Aytaylik, 2 ta {0,1} elementlardan iborat b olgan bosh to ‘plam dan qaytariladigan sxema bo‘yicha hajmi n ga teng b o lg an tanlanm alar olaylik va bu tanlanm alar to'plam ini Q deb belgilay-lik. Q ning ixtiyoriy elementi
co = coja)2 ---ti)w
b o lib , co, 0 yoki 1 ga teng boladi.

73

Barcha tanlanm alar soni |Qj=2n va Q da quyidagi manfiy boim agan P( funksiyani aniqlaylik. Agar co tanlanmada k ta 1 bo'lsa,
P(co) = p k( 1 - p ) n~k, 0 < p < I .
Bu P () funksiyani ehtimollik taqsimoti bolishi uchun P(Q) = 1

shart bajarilishi lozim. madagi n ta joyga C k mak, k ta 1 ni o‘ziga C k ga teng, ya’ni

Haaiqatan ham, k ta 1 elementni tanlan-ta usul bilan joylashtirish mumkin. De­ oluvchi tanlanmalar soni ham mana shu

Q.k '={© : co da A:ta 1 bor}
deb olsak,
pn(k) = p{nk) = c npk( i - py-k,
k= 0, 1,2,...,/j.
Endi Pn{k) lar ehtimollik taqsimoti bolishligi quyidagi tenglik-dan kelib chiqadi:
p ( d ) = 2 P M =X/ >( n. ) = C - P )~k =[/>+(!- P ) J = 1■

oeQ k={) k=0

formula orqali aniqlangan Pn(k) ehtimolliklar binomial taq­ simot deyiladi va bu taqsimotni quyidagicha tushunish mumkin. Aytaylik, n ta bogiiqsiz tajribalar ketma-ketligi davomida biror A hodisaning ro‘y berish yoki ro‘y bermasligi kuzatilsin. Bitta tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi p=P(A) tajribalar nomeriga bogiiq bolm asin. Agar tajriba natijasida A hodisa ro'y bersa bu holatni «yutuq» deb tushunsak (aks holda «yutqiziq» va uning ehtimolligi P { A ) = 1 - p , P„(k) n ta tajribada «yutuqlar» soni k ga teng bolishi ehtimolligi boiadi.
Endi Pn(k) binomial taqsimotni k ga nisbatan qanday o'zga-rishini olganaylik. Buning uchun quyidagi nisbatni ko‘ramiz:

n ( i 'i P n - k + \ p ( n + \ , \

k

Bu nisbat k o ‘sgan sari kamayadi va — j- < p bo‘lsa, u 1 dan

k

katta, — > p bo‘lsa, 1 dan kichik bo‘ladi. Demak, Pn(k) ehti-

k

mollik oldin k o ‘sganida m onoton ravishda o ‘sadi, keyin — > p

boMganida esa kamayadi va P„(k)
k = k0 = [np+ p]
bo‘lganda maksimal qiymatga erishadi. Aytilganlardan kelib chi-qadiki, n ta tajribada kn marta «yutuq» boMish ehtimolligi qolgan Pn(k) lardan katta boMadi, ya’ni
max Pn ( k ) = Pn ( k0)
m unosabat o ‘rinli.
Bernulli sxemasida «yutuqlar» soni k dan katta boMmaslik ehti­ molligi

Q,U) =£ P.O')
tenglik bilan aniqlanadi va uni Rn(k) nisbat orqali baholash m um ­ kin. H aqiqatan ham , k < p (n + \) boMganda

a ( * ) = / ’, ( « f i + ™ +	1	+...K
RAk)	RAk)KAk- 1)

K o‘rish qiyin emaski, Qn(k) uchun keltirilgan baho n va k lar-

k

ning katta qiymatlarida, —~ qiy mat esa 1 dan farq qilganda deyarli

aniq boMadi, chunki bu holda

geometrik progressiya yig‘indisidan kam farq qiladi Demak, quyi­ dagi taqribiy

< 2 >
munosabat o ‘rinli bo'ladi.
Masalan, n—30, p = 0,7, k= 16 bo‘lsin. Bu holda np=21 bo‘lib,
formula bilan hisoblashlar ko‘rsatadiki, P„(k) = PM) (16; ~ 0,023. Berilgan qiymatlar uchun
i n + \ - k ) p _ 1 5 0 , 7 , Q/.
( n +l ) p - k = ~ 5 J ~ a ’
Demak, (2) munosabatning o ‘ng tomoni 0,023- 1,84 « 0,042.
Berilgan n, p, Ularning qiymatlarida Qn(k) ni bevosita hisobla-sak, 10~3 tartibdagi aniqlik bilan 0,040 qiymatni hosil qilamiz.

Bernulli sxemasi bilan bogiiq bo‘lgan «tasodifiy joylashtirish-larga» taalluqli quyidagi masalani ko‘raylik.

Faraz qilaylik, 1-, 2-, ..., w-chi deb belgilangan n ta yacheyka-larga N ta zarracha tashlansin (solinsin). Har bir zarracha n ta vacheykalardan xohlagan bittasiga tushishi mumkinligidan N ta zarrachani n ta yaeheykalarga tashlashlarni nN ta usul bilan joy-lashtirishi mumkin. Zarrachalarning yaeheykalarga joylashishini n ta elementdan iborat bosh to ‘plamdan hajmi jVga teng boigan qaytariladigan sxema bo‘yicha olingan tanlanmalar deb qabul qi-
lish mumkin. U holda tanlanmalardan har biri -4r ehtimollikga

n
ega bo‘ladi. Keltirilgan zarrachalarni yaeheykalarga «joylashish» («tushish») sxemasi uchun /-yacheykaga k ta zarracha tushish ehtimolligini topaylik. /-yacheykaga tushmagan N~k ta zarracha qolgan n—1 yaeheykalarga (n—\)N~k ta usul bilan joylashadi. N ta zarrachadan /-yacheykaga tushmagan N —k ta zarrachalar C^~k ta usul bilan joylashtiriladi. Demak, klassik sxema bo'yicha topiiishi kerak bo‘lgan ehtimollik

76

Bu yerda C* = C"~k form uladan foydalanildi va (3) dan
ko‘rinadiki, bu ehtimollik p = ^ bolgan Bernulli sxemasidagi
ehtimollik bilan ustma-ust tushadi.
3 .2 -§ . M u av r-L ap las lokal va integral teo rem alari
Binomal taqsimot formulasidan ko'rinadiki, tajribalar soni n yetarlicha katta bo‘lganida Pn(m) ehtimolliklarni hisoblashda qiyin-chiliklar yuzaga keladi. Shuning uchun ham P„(m) ga nisbatan sodda ko‘rinishdagi asimptotik formulalarning zaruriyati yuzaga
keladi. Bu masalani p = q = ^ bolgan holda Muavr, umumiy
holda (j&q) esa Laplas hal qilganlar. Ular isbotlagan ikkita asimpto­ tik formulalar quyidagi Muavr—Laplas teoremasi ko'rinishida kel-tiriladi.