Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

n ! = \f2nn ■nne~ne°" , _12«+1

12n

(B. ejuiep. BBCiieuHe b Teopuro BepoOTHocTeft h ee npHJioacennH.
MocKaa, 1984. T. 1, 66-bet).
2-teorema. Quyidagi asimptotik formula oMinli:
P ( S n = k) =. 1 exp{ - n H [ p * ) + 9 ( k , «)} •

J 2 n n p * ( l - p *)
Bu yerda
8 ( t,» ) = M - e W e („ - *)| < ^ + m L js = .
Buteoremadan foydalanib, Muavr-Laplasning lokal teoremasi-dagi qoldiq hadning bahosini ham topish mumkin, ya’ni (2) mu-nosabatni aniqlashtirish mumkin. Buni quyidagi teorema ko!ri-nishida keltiramiz.
3-teorema. Quyidagi
\p * ~p\ ^ -j min (p , q)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha k lar uchun

P( S n = k) = q>(2) A (1 + ?,(k,n))

(3)

85

va
Agar x -> 0 da e x - 1 = 0 ( x ) ckanligini hisobga olsak, u hol­ da (3) m unosabatning qoldiq hadi qanday tartibda 0 ga intilishini topish mumkin.

3.4-§. Puasson teoremasi
Yuqorida P(Sn=k) ehtimolliklar uchun aniq baholar keltirildi. Ulardan ko‘rinadiki, agar p va q — 1—p lar musbat b o lib fiksir-langanida npq m iqdor katta qiymatlar qabul qilsa, Muavr-Laplas teoremasi bu ehtim olliklar uchun eng yaxshi approksimatsion ifo-dalar beradi. Lekin, masalan, p —0,001 va n = 1000 b oisa, np — \ va n katta son bolishiga qaram asdan M uavr-Laplas teoremasidan foydalanib bolm aydi. Bu holda P(Sn=k) ehtim olliklam i Puasson taqsim oti orqali approksimatsiyalash qulay b o la r ekan.
H ar qanday B to ‘plam uchun param etri X boigan Puasson taqsimoti
tenglik bilan aniqlanishini eslatib oiam iz .