Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

J j[0 ehtimolligi I - p Jt ^
n
Sn = §i + ... + ya k = ESn £ Pj bolsin.

>1
2-teorema. Har qanday B to'plam uchun

n

2

J

J-l
Bu teorema isbotini keltirishdan oldin Puasson taqsimotining quyidagi xossasini isbotlaymiz.

Lemma. Agar n , va r\2 miqdorlar bogiiqsiz bolib, n , parametri A-j, r\ 2 esa parametri k2 bo‘lgan Puasson taqsimotlariga ega bo‘lsalar, Tli'i_Tl2 yig'indi parametri k i+X2 boigan Puasson taqsimotiga ega bo‘ladi.

Isbot. To‘la ehtimollik formulasiga asosan
k

		^ ( Tl|	+ rl2 = k ) = X			=	= k ~ j ) =
				j=0
			7=0	= j)P(T) 2		= k ~ j ) =
= y~ y l p ~ h		Xl > e	X 2_	1	= J L e<a x' { x k-)jy
L	j\	(k-j)\		k\	uo		k '
— 0	■>'			" •	7=0

Lemma isbot bo‘ldi.

87

2-teoremaning isboti. Faraz qilaylik,
COj, co2 , .. . , c o „
— bogiiqsiz tasodifiy m iqdorlar [0, 1] oraliqda tekis taqsimlangan bo'lsin. Ehtimollik fazosi (Q,#,/*) da quyidagi tasodifiy m iqdor­ larni aniqlaymiz:
[ 0 , agar co, < 1- p ; ,
M ® > = 3i ' , 0 < ^ < 1, |[1, agar co,. > 1- Pj ,

.	f 0,	agar	to - < e~Pj ,
^ ( c o )	=	agar	co,. e
	|[& > 1,

j = 1 ,2 ,...,/*

A: /
va bu yerda nk e A: = 0 ,1 ,....

m=0
Bevosita ishonish mumkinki, £,,-(©) lar bog‘liqsiz va param etri Pj b o ‘lgan Bernulli taqsimotiga, (to) lar ham bog'liqsiz bo‘lib, param etri Pj bo‘lgan Puasson taqsimotiga ega bo‘ladilar. Yana bev­ osita tekshirib ko‘rish mumkinki, 1- p j < e~Pj tengsizlik o ‘rinli ekanligidan

{to (co) * £,} (co)} =

= {co :co; G [l - Pj ,e~Pj JJ u jco :co,- e |~e~Pj + Pje~Pi ,1 | .
Bu oxirgi tenglikka asosan (1 - e~x < x , 0 < x < l )

f e j * £ j ) = ( e~" - 1 + ^ ) + (1- e_" - P i e~r‘ ) =
P j ( l - e * ‘ ) < P) .
T o‘la ehtimollik formulasidan foydalanib va oxirgi tengliksizni hisobga olib quyidagi m unosabatlam i yozish mumkin:

P( S„E B) = P(S, s B , s , = s ; ) + P ( s . e - B , s . * s ; ) = = P ( s ; s B ) - P { s .‘ s B , s , * s ; ) + P ( s , e B, S , * S l ) ,
IP(S,E B)~ P(S; e i)| < |p(5; <=B, S, * %) ■-P(S, e B, S, * ST. )| <

< P ( S „ * S ; ) ± - £ p ] '	(. )
J=1	n
Lemmaga asosan S* tasodifiy m iqdor param etri	X = ^ Pj
bo‘lgan Puasson taqsimotiga ega bo‘ladi, ya’ni

(S;S B)=H,(B).
2-teorem aning isboti (*) munosabatning birinchi va oxirgisi-dan kelib chiqadi. Agar har qanday j uchun pj=p bo ‘lsa, \~ n p va 1-teorem a o‘rinli bo‘ladi.
tasodifiy m iqdorlar bir xil taqsimlangan holga qaytamiz. 1-teorem adan foydalanish uchun, ya’ni P{Sn=k) taqsim otni ITX( ) bilan approksimatsiyalash uchun masalani boshqacharoq qo‘yishiga to‘g‘ri keladi, chunki np m iqdor n o ‘sib borganda chegaralangan bo‘lishi uchun p = P{c,k = 1) ehtimollik 0 ga intilishi kerak. Buni esa fiksirlangan
S i . S a , - ,
tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun ta ’minlash m um kin emas. Shuning uchun Puasson teoremasi holida seriyalar tashkil qilu-vchi tasodifiy m iqdorlar ketma-ketligini ko‘rish zarur bo'ladi:

t(l)				1-seriya
Si	c(2)
pit)				2-seriya
Si	»S2
e (3)	e(3)	e(3)		3-seriya
Si	’S2	’S3
pin)	pin)	pin)	pin)	«-seriya
Si	>S2	’S3	Sn

Bu yerda yuqoridagi indeks seriya nomerini, quyi indeks esa tasodifiy m iqdorning seriyadagi nom erini anglatadi.

89

Faraz qilaylik, n-seriyadagi ^ n) tasodifiy miqdorlar bogiiqsiz bo‘lib, har qanday k uchun
f l, ehtimolligipn,
j oehtimolligi, 1- pn
bo‘lsin. Endi Sn = ^ + ... + ^ tasodifiy miqdorlar taqsimoti va Pn ( m) = P ( S n = m) ehtimolligi uchun quyidagi teorema o ‘rinli boiadi.
3-teorema. Agar n -> .00 da pn ->• 0 shart bajarilsa, u holda
p_{" m\} -> 0
munosabat o ‘rinli boiadi.
Isboti. an —npn deb belgilaymiz va
Pn{m) = C : P: q : - m, qn = l - p n
formuladan Pn = ~< ekanligini e’tiborga olib, quyidagi ifodani
hosil qilamiz:

Aytaylik, m tayinlangan (fiksirlangan) boisin . Quyidagi ikki holni ko‘rib chiqamiz:

1-hol. an —chegaralanmagan, ya’ni n -» qo da an -> * boisin. U holda ixtiyoriy 0 < x < 1 uchun 1 —x < e~x ekanini va (1) ni hisobga olsak,

90

o		yfm		X
		12-rasm,
		a„ -	„m
1= Pn (m)	-e		Q.yi	(2)
		<. -2-re	+ — e
	m\	m\	m\

munosabat hosil bo‘ladi.
vm™ ___*2

Endi y = — e 2 funksiyani qaraymiz (12-rasm). Agar x = 0

boMsa, u holda y=0 va x -> oo da esa y -> 0. y eng katta qiymatiga x = yfm da erishadi. Bu funksiyaning grafigi yuqorida keltirilgan. Natijada ixtiyoriy e > 0 uchun shunday son topiladiki, yetarli-cha katta n (n > \[m ) lar uchun an > Ay bo ‘lganida

»	< -	n p - ° n		8	(3)
		^a^”I t	<	2
m\	2 ’	m\
bo‘ladi. Demak, (2) va (3) dan K		z	ekani kelib chiqadi.

2-hol. an — chegaralangan boMsin, u holda ixtiyoriy e > 0 son uchun shunday «0(e) topiladiki, n > w0(s) boMganida ushbu teng-
sizliklar bajariladi:
1 ——- i <

n
( 4 1 _{H )} ^i- K » ‘ J E

^m < 2
K

91

Bu tengsizliklardan va (1) dan quyidagiga ega boiam iz:

Bu esa teoremani isbotlaydi.
Puasson teoremasi A hodisaning har bir tajribada ro‘y berish ehti­ molligi nolga teng bo‘lganida ham o‘rin!i ekanligini ta’kidlab o'tamiz.
Bu holda an —0 boiadi.
nm

P(m) = —-e “ , m = 0,1,2,...

m!

00
ifodani kiritaylik. P{m) miqdorlar P(m) = 1 tenglikni qanoat-
m-M'l
lantirishini ko‘rish qiyin emas. Haqiqatan ham.

92

a = e-° y = e- e a = 1.
Hosil qilingan ehtimolliklar taqsimoti Puasson qonuni deyiladi. Mso/. Har bir otilgan o‘qning nishonga tegish ehtimolligi 0,001 ga teng. Agar 5000 ta o‘q otiladigan bo‘lsa, ikkita va undan
ortiq o'qning nishonga tegish ehtimolligini toping.
Yechish. Nishonga tekkan o'qlar sonini desak, izlanayotgan ehtimollik P(\i.n> 2 ) dan iborat bo'lib, u quyidagiga teng bo‘ladi:
n

an - n- p = 5000 0,001 = 5 ckanini e’tiborga olsak, Pn(0), Pn( 1)
ehtimolliklar Puasson formulasi yordamida osongina topiladi:

P5m)(m) ehtimollik m=4 va m =5 bo‘lganida ushbu maksimum qiymatga erishadi:

‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar

B ogiiq bolm agan tajribalar ketma-ketligi deganda nimani tushunasiz?

Bernulli sxemasini tushuntirib bering.

Binomial taqsimot formulasini yozing va unga doir misollar keltiring.

Muavr-Laplasning lokal teoremasi nimadan iborat?

Muavr-Laplasning lokal teoremasi tadbiglga misol keltiring.
. Muavr-Laplasning integral teoremasi nimadan iborat?

93

7. Muavr-Laplasning integral teoremasi qanday ahamiyatga ega?

I) qanday masalalarga tadbiq qilinadi?
8. Lokal va integral teorem alar tadbiq qilinadigan masalalar orasidagi farq nim alardan iborat?
Puasson teoremasini aytib bering.
M uavr-Laplas teoremasining shartlari Puasson teorem asi-ning shartlaridan nim a bilan farq qiladi?

Ehtimolliklar nazariyasi ning asimptotik formulalari qan ­ day maqsadlarga xizmat qiladi?

N im a uchun Puasson qonuni kam yuz bcruvchi hodisalar qonuni deb ataladi?