Ideal tushunchasi kommutativ assotsiativ birlik elementli xalqa bo‘lsin

---

Ideal tushunchasi 
kommutativ assotsiativ birlik elementli xalqa bo‘lsin. 
Ta’rif 2.1. xalqaning bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plami ning ideali deyiladi 
, agar 
1)
Ixtiyoriy ikkita 
elementlar uchun 
bo‘lsa; 
2)
Ixtiyoriy 
lar uchun 
bo‘lsa. 
2.2 misol.Butun sonlar xalqasi
da 
to‘plam idealdan iborat. 
da juft 
sonlar to‘plamini, 
da 
xalqani, 
da bir element 
dan iborat 
ideallarni hosil qilamiz. 
2.3. tasdiq. xalqada har qanday ideal ko‘rinishda bo‘ladi, bu erda 
Isbot. xalqaning nol bo‘lmagan ideali bo‘lsin. idealdagi eng kichik 
natural son bo‘lsin. (SHunday son mavjudiligni ko‘rsating). Idealning ta’rifidan 
kelib chiqadiki, bo‘ladi (tekshiring!). bo‘lib, lekin bo‘lsin. U 
holda qoldiqli bo‘lish haqidagi teoremaga asosan shunday sonlar 
mavjudki, bo‘ladi. Lekin , bu esa ning eng 
kichik natural sonligiga ziddir. Demak, bo‘ladi. 
2.4. masala. bo‘lsin. Agar bo‘lsa, u holda va aksincha 
ekanligini isbotlang. 
2.5. Maydonda trivial bo‘lmagan ideal yo‘qligini ko‘rsating. 
2.6. xalqaning har qanday fiksirlangan elementi uchun
to‘plam xalqaning ideali ekanligini ko‘rsating. 
2.7. ta’rif. xalqaning ideali bosh ideal deyiladi, agar shunday element 
mavjud bo‘lib, bo‘lsa. element idealning tashkil etuvchisi 
(yasovchisi) deyiladi. 
Masalan, ideal bosh idealdan iborat . 
2.8. misol. Ikkita o‘zgaruvchili ko‘phadlar xalqasi da ozod hadi nolga 
teng bo‘lgan ko‘phadlarning
to‘plamini qaraymiz.
ning ideal tashkil 
qilishini ko‘rsating. Bu idealning bosh ideal bo‘lmasligini ko‘rsatamiz. 
Haqiqatdan ham, biror uchun
bo‘lsa, u holda
bo‘lganligi uchun yo nol bo‘lmagan konstantadan iborat (bu holda 
bo‘lib, bu ziddiyatdan iborat), yoki bo‘ladi. 

---

Lekin,
bo‘lganligi uchun ham ga bo‘linishi kerak. Bu ham 
ziddiyatdan iborat. Demak,
bosh idealdan iborat emas. 
2.9. ta’rif. 
Agar 
xalqada har bir ideal bosh idealdan iborat bo‘lsa, u holda 
ga 
bosh ideallar xalqasi deyiladi. 
bosh ideallar xalqasidan iborat, esa bosh ideallar xalqasi emas.
Bosh ideal tushunchasini quyidagicha umumlashtirish mumkin. 
lar xalqaning ixtiyoriy edementlari bo‘lsin. 
2.10. masala.
to‘plam xalqaning ideali ekanligini ko‘rsating. 
2.11. ta’rif.
idealning
elementlari uning bazisi 
deyiladi. ideal chekli bazisga ega deyiladi, agar unday shunday 
topilib,
bo‘lsa. 
Bazis ta’rifida bazis elementlari sonining minimalligi yo‘q. Bazisga idealning 
biror elementini qo‘shib, yana bazisni hosil qilamiz. 
2.12. masala. Ixtiyoriy
element uchun
tenglikning o‘rinli ekanligini ko‘rsating. 
2.13. masala. xalqada (5, 13) idealning butun xalqa bilan ustma ust 
tushishini ko‘rsating. Umumiy holda,
ekanligini ko‘rsating. 
2.14. masala. xalqada
ideal ideal bilan ustma ust tushishini 
ko‘rsating. 
2.15. masala.
tenglik faqat va faqat
va
lar nol bo‘lmagan 
konstantaga farq qilgandagina o‘rinli ekanligini ko‘rsating. 

---

3.24. misol.
tenglamalar sistemasi birgalikda emas. 
Haqiqatdan ham, agar tenglamalarni mos ravishda
deb belgilab olsak, u holda,
ziddiyatga kelamiz. 
3.23 natija shuni ko‘rsatadiki, tenglama sistemaning natijasi sifatida
ning ustidagi tenglamalar sistemasining birgalikda bo‘lmasligining yagona 
sababi bo‘ladi. Lekin,
ning ustida bunday emas.