Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

Масала. Агар n- нчи тартибли бир жинсли чизикли дифференциал тенгламанинг фундаментал ечимлари берилган булса, тенгламани тузинг.
Ечиш. Фараз этайлик изланган бир жинсли чизикли дифференциал тенглама
(17)
булсин.Бунда коэффицентлар хозирча аникланмаган функциялардир.
Шартга кура лар (17) тенгламанинг ечимлари булгани учун:
(18)
(18) ларга нисбатан бир жинсли булмаган алгебраик тенгламалар системасидан иборат. Унинг асос детерминати Вронский детерминатдан
иборат булгани учун у нолга тенг эмас (чунки тенгламанинг фундаментал ечимлар сисиетемасидир) шунинг учун (18) системадан лар бир кийматли аникланади. Бу топилган кийматларни (17) тенгламага куйсак, изланган бир жинсли тенгламага эга буламиз.
Топилган тенгламани детерминат шаклида ёзиш мумкин:
(19)
хакикатдан хам охирги устун элементлари урнига ларни куйсак икки устун элементлари тенг булгани учун детерминат киймати нолга тенг булади. (19) топилиши керак булган бир жинсли чизикли дифференциал тенгламадир.
Мисол. Хусуий ечимлари булган бир жинсли тенгламани тузинг
Исбот этиш мумкинки бу функциялар чизили богланмаган.

детерминатни очиб чикиб, ихчамласак га эга буламиз.
(19) детерминатни охирги устун элементлари буйича очиб чикамиз

(20)
олдидаги коэффициент Вронский детерминатидан иборат булгани учун у нолга тенг эмас. Шунинг учун (20) хар иккала томонини га булиш мумкин.
Сунгра хосил булган тенглама билан (17) ни солиштириб карасак
(21)
га эга буламиз.
(21) нинг сурати, махражининг хосиласидан иборатдир.
Хакикатан хам олий, алгебрадан маълумки элементлари х нинг функциясидан иборат булган n-нчи тартибли детерминатнинг хосиласи, n та n-нчи тартибли детерминатлар йигиндисига тенг булиб, уларнинг биринчисида биринчи сатр элементларинг хосиласи олиниб колган элементлар узгартирилмай колади. Иккинчи детерминатда иккинчи сатр элементларнинг хосиласи олиниб колган элементлар уз холича колади ва хоказо шундай давом эттирсак n-нчи детерминатнинг n-нчи сатр элемантлари, уларнинг хосиласи билан алмаштириб колган элементлар уз холича колдирилади. Шундай килиб, n-1 та n-нчи тартибли детерминатларда икки сатр элементлари узаро тенг булгани учун улар нолга тенг.охирги n-нчи детерминат эса (21) детерминатнинг суратидан иборат булади. яъни
Бу узгарувчилари ажраладиган дифференциал тенгламалардир





агар

десак (23)

(22) га Осторградский – Лиувилль формуласи дейилади.
Остроградский-Лиувилль формуласини, иккинчи тартибли дифференциал тенгламаларнинг умумий ечимини топишга тадбик этамиз.
Фараз этайлик у₁

тенгламанинг хусусий ечими булсин. у эса унинг дан фарк килувчи ихтиёрий ечими (23) га асосан

Бу тенгламанинг хар иккала томонини га буламиз:

га эга буламиз. Бу формулада иккита ихтиёрий узгармас сон катнашаётир.
Бу иккинчи тартибли чизикли дифференциал тенгламанинг умумий ечимидир.
Хулоса. Агар бир жинсли иккинчи тартибли чизик дифференциал тенгламанинг битта хусусий ечими берилган булса унинг умумий ечими квадратура ёрдамида аниклангади.