Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

Мисол:
да улар фундаментал ечимлар системаси ташкил этади.
ТЕОРЕМА 6. Агар (1) тенгламанинг фундаментал ечимлар системаси булса, у холда тенгламанинг умумий ечими.
(12)
дан иборат. узгармас сонлар.
Исбот. Маълумки ихтиёрий n та узгармас сонларга боглик булган ифодадан ичтиёрий узгармасларни маълум бир кийматларида тенгламанинг хамма хусусий ечимлари келиб чикса бундай ифода тенгламанинг умумий ечими булар эди.
Маълумки хусусий ечимлар бошлангич шартлар ёрдамида бир кийматли аникланади. (мавжудлик ва ягоналик теоремасига асосан) х=х₀ булганда
(13)
ихтиёрий сонлар,
(12) нинг умумий ечим эканлигини исботлаш учун ундаги ларни шундай аниклаш мумкин б¢лсаким, (13) бошланђич шартлар бажарилсин. (12) дан кетма-кет n-1 марта хосила олиб, уларнинг х=х₀ даги šийматларни аниклаймиз.
(14)
Агар (14) системада ларни номаълум деб šарасак, (15) бир жинсли булмаган алгебраик тенгламалар сиситемасини ташкил этади. Бу сиситеманинг асос детерминанти Вронский детерминатида х урнига х₀ š¢йилган детерминатидан яъни иборат булиб, у 4 теоремага асосан нолга тенг эмас;
Шунинг учун (14) сиситемадан лар бир šийматли аникланади.
нинг бу топилган šийматларида (12), бошланђич (13) шартни каноатлантиради.
Демак (12) ифода (1) тенгламанинг умумуий ечимидир.
ТЕОРЕМА 7. Агар n- нчи тартибли бир жинсли чизикли дифференциал тенгламалар хусусий ечимларга эга булса, бу ечимлар чизикли бођланган буладилар.
Бошкача айтганда n-нчи тартибли бир жинсли чизикли дифференциал тенгламалар n тадан ортик чизикли бођланмаган ечимга эга эмас.
Исбот. Фараз этайлик лар чизиšли бођланган булсинлар. У холда n та чизиšли бођланган функциялар та чизиšли бођланган функцияларнинг хусусий холидир.
Хаšиšатан хам, х нинг ќамма šийматларида

айният бажарилади.

2. 
   хол. функциялар чизикли бођланмаган булсин. У холда улар фундаментал ечимлар системани ташкил этади.
   

Маълумки тенгламанинг ихтиёрий хусусий ечими булар оркали коэффицентлари узгармас булган чизикли равишда ифодаланади, шу жумладан ечим хам

яъни улар чизšли бођлангандир.
ТЕОРЕМА 8. Агар иккита бир жинсли чизикли дифференциал тенгламалар
(15)
бир хил фундаментал ечимлар системасига эга б¢лса ,у ќолда улар айнан ¢заро тенгдир яъни
Исбот. (15) тенгламаларнинг биринчисидан иккинчисини ќадлаб айирамиз:
(16)
тенгламага эга б¢ламиз.
Фараз этайлик б¢лмасинлар у ќолда узлуксиз функциялар булгани сабабли шундай оралиš топиладиким бу оралиšда айирма нолга тенг б¢лмайди:

шунинг учун (16) ни ќар иккала томонини булиб ,уни

бу тенглама (15) тенгламаларнинг натижаси булгани учун лар бу тенгламанинг фундаментал ечимлар системасини ташкил этади.
Лекин бу тенглама (n-1) тартибли булгани учун у n та чизикли боглик булмаган ечимларга эга булолмайди (7 теорема).Бу карама-каршилик курсатадиким

Худди шундай давом эттирсак натижада

га эга буламиз. Демак (15) тенгламалар битта тенгламадан иборатдир.